Несовпадение результатов при разложении по малому параметру

[Geen]

(Оффтоп)

Какое-то безобразие в ПРР

[Lia]

reterty в сообщении #1544016 писал(а):

При первом (строгом) подходе (берутся значения производных в нуле) разложение начинается с квдратичного по аргументу слагаемого. При втором (не строгом, несколько искусственном) с линейного члена. Почему же второй не сработал в данном случае?

Приведите собственные попытки разложения, пожалуйста. Не надо говорить про ряд Тейлора, если у Вас ни разу нет ряда. Не надо говорить про приближенное равенство, если не говорите, что это. Сделайте так:

Geen в сообщении #1544020 писал(а):

Перепишите формулы так, что бы вместо $\approx$ стояло строгое равенство.

Geen в сообщении #1544046 писал(а):

(Оффтоп)
Какое-то безобразие в ПРР

Бардак, да.

[reterty]

Я уже разобрался. Всем спасибо!

[Евгений Машеров]

Я бы ещё обратил внимание на абсолютную и относительную ошибки. Последняя при вычитании из экспоненты единицы драматически возрастает, поскольку знаменатель в выражении для относительной ошибки оказывается мал.

[мат-ламер]

Geen в сообщении #1544046 писал(а):

Какое-то безобразие в ПРР

Lia в сообщении #1544052 писал(а):

Бардак, да.

А по-моему всё нормально. Топик-стартер со свои вопросом и со своим заблуждением зашёл на форум. И это нормально. А если он всё знает, то зачем ему тогда заходить и зачем тогда форум? А так спугнули топик-стартера и теперь непонятно, полностью разобрался он в теме или нет. Более того, теперь и помогающие в недоумении, а не сморозили ли они какую-либо глупость?

[reterty]

Ок. Буду краток и опишу что после всего сказанного у меня "в голове сформировалось" Пусть имеется функция $f(g(x), x^2)$ и нам необходимо рассмотреть ее поведение вблизи $x=0$ (для простоты). Спрашивается: достаточно ли для $g(x)$ использовать два первых члена ряда Тейлора (нулевое и первое приближения), чтобы корректно получить первых два члена ряда Тейлора для $f(g(x), x^2)$? Оказывается, это возможно далеко не всегда..... Можно рассматривать, конечно, и сложные функции более общего вида... Короче говоря, лучше "не баловаться никогда" с разложением "внутренних функций" а вычислять слагаемые ряда Тейлора, используя значения производных функций в точке.

[zykov]

reterty в сообщении #1544123 писал(а):

Короче говоря, лучше "не баловаться никогда" с разложением "внутренних функций"

Можно и внутренние раскладывать (на самом деле так часто и делают, потому что так проще).
Просто делать это надо грамотно.
Вот у Вас должно было получится $f(x)=-x+o(1)$, т.е. видно что не работает и надо больше порядков взять.
А когда взяли достаточно порядков, то получается $f(x)=\frac{x^2}{12}+o(x^2)$, т.е. видно что всё хорошо.

-- 24.12.2021, 20:03 --

Вот детали:

$$ f(x)=1-\frac{x^2 \exp(x)}{(\exp(x)-1)^2}=1-\frac{x^2 (1+x+o(x))}{((1+x+o(x))-1)^2}=1-x^2\frac{1+x+o(x)}{x^2+o(x^2)}=1-\frac{1+x+o(x)}{1+o(1)}=$$

$$=1-(1+x+o(x))(1+o(1))=1-(1+x+o(x))+o(1)=-x+o(1)=o(1)$$

[reterty]

zykov в сообщении #1544128 писал(а):

reterty в сообщении #1544123 писал(а):

Короче говоря, лучше "не баловаться никогда" с разложением "внутренних функций"

Можно и внутренние раскладывать (на самом деле так часто и делают, потому что так проще).
Просто делать это надо грамотно.
Вот у Вас должно было получится $f(x)=-x+o(1)$, т.е. видно что не работает и надо больше порядков взять.
А когда взяли достаточно порядков, то получается $f(x)=\frac{x^2}{12}+o(x^2)$, т.е. видно что всё хорошо.

Так часто делают, когда исходная функция довольно громоздка (для взятия даже первой производной) а еще если значение производной приходится вычислять пределом......Лень-матушка))

[мат-ламер]

zykov в сообщении #1544128 писал(а):

Вот детали:

$$ f(x)=1-\frac{x^2 \exp(x)}{(\exp(x)-1)^2}=1-\frac{x^2 (1+x+o(x))}{((1+x+o(x))-1)^2}=1-x^2\frac{1+x+o(x)}{x^2+o(x^2)}=1-\frac{1+x+o(x)}{1+o(1)}=$$

$$=1-(1+x+o(x))(1+o(1))=1-(1+x+o(x))+o(1)=-x+o(1)=o(1)$$

Это вы показали почему возникает ошибка?
Она возникает и при замене $e^x=1+x+x^2 \slash 2 +o(x^2)$ .

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1544136 писал(а):

Она возникает и при...

И что? Есть много способов сделать ошибку.
Сдесь это скорее не ошибка, а один шаг "попробовали - не получилось".
Заранее часто проблематично сказать, сколько надо порядков взять. Вот и делают методом проб и ошибок.
Если где-то взял лишний порядок, то оно не навредит. Его потом можно выбросить.

Другое дело, что ТС изначально это делал неграмотно - не отслеживая порядок остатка.
Может видел где, как кто-то так писал. Но даже если этот кто-то явно на бумаге не записывал порядок остатка, он его вполне мог в голове держать полагая, что читатель будет делать тоже самое.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1544136 писал(а):

Это вы показали почему возникает ошибка?

Почему возникает, понятно. Более интересно было бы рассмотреть, а что делать, чтобы она не возникала. Допустим, надо нам найти разложение Тейлора подобной функции, а её производные вычислить довольно проблематично. Хотя в данном случае производные ищутся легко, но, допустим, это не так. Понятно, что речь идёт не о задаче из задачника, в которых как правило, разобраться легко, а о реальной задаче с которой сталкиваются физики. Этот пример просто возьмём для иллюстрации. В данном случае лучше выражение привести к единому знаменателю: $f(x) = \frac{(e^x-1)^2-x^2e^x}{(e^x-1)^2}$ . Дальше, выражение $(e^x-1)^2$ раскладывать в ряд не возведением в квадрат ряда, а непосредственно вычисляя производные. А сколько членов взять, уже смотреть, чтобы в числителе не возникла потеря точности.

Что нельзя пользоваться знаком примерного равенства, надеюсь, топик-стартер понял. Надо писать точные равенства с о-малыми. И надо знать, как с ними обращаться.

Я слышал и такую точку зрения, что складывать и вычитать выражения с бесконечно малыми вообще в корне методически неверно. Возможно это и так с точки зрения решения задач из задачника по анализу. Но у физиков, как я понимаю, своя точка зрения на то, что можно, а что нельзя. И если нельзя, но что-то надо делать, то наверное всё же надо что-то делать. Только аккуратно.

[Geen]

мат-ламер в сообщении #1544118 писал(а):

Топик-стартер со свои вопросом и со своим заблуждением зашёл на форум. И это нормально.

А не про ТС вовсе речь.

мат-ламер в сообщении #1544118 писал(а):

А так спугнули топик-стартера

Так не пишите ерунду.

мат-ламер в сообщении #1544139 писал(а):

Но у физиков, как я понимаю, своя точка зрения

Вы неправильно понимаете.

[Lia]

мат-ламер в сообщении #1544139 писал(а):

Я слышал и такую точку зрения, что складывать и вычитать выражения с бесконечно малыми вообще в корне методически неверно.

Вы не эту точку зрения слышали.

мат-ламер в сообщении #1544118 писал(а):

Более того, теперь и помогающие в недоумении, а не сморозили ли они какую-либо глупость?

Непохоже.

мат-ламер
Будьте добры, воздержитесь от помощи в темах, которыми не вполне владеете. ПРР полностью к Вашим услугам, если Вы захотите разобраться сами. Заводите тему и разбирайтесь. Сбивать ТС окончательно с толку не надо, именно это отпугивает, а не что-то еще.