Две задачи из абстрактной алгебры

[Alexiii]

1. Представить пример неинъективного гомоморфизма моноидов с тривиальным ядром этого гомоморфизма.Построить как можно общий класс таких примеров.

2. Проверить на достоверность следующее доказательство $nZ$-го вида любой подгруппы группы $(Z,+)$ целых чисел:
пусть $x,y$ - элементы нетривиальной подгруппы $G$.
Имеем: $ax+by=d$,где $a,b,c,d,x,y$ - целые числа.
Тогда с учетом того,что принадлежность какого-нибудь $x$ элемента к подгруппе $G$ влечет за собой принадлежность всей группы $xZ$,получаем,что у $G$ будет вид $dZ$.
ч.т.д.

[bot]

1. Если ядро гомоморфизма тривиально, то есть является отношением равенства, то по определению это инъективный гомоморфизм, иначе называемый вложением.

2. Фактически это следствие того, что в кольце целых чисел все идеалы главные.
Возьмите просто наименьший положительный элемент $n$ группы $G$ и воспользуйтесь тем, что любой другой $x\in G$ можно представить в виде: $x=n\cdot q+r, \ q\in \mathbb Z,\ 0\leqslant r < n$
Здесь $\cdot$ - это не знак умножения, а сокращение записи
$n+n+ \dots + n$ или $-(n+n+ \dots + n)$, где $n$ повторено $q$ раз при $q>0$ или соответственно $-q$ раз при $q<0$.

[Alexiii]

Решение 2-ой задачи по изложенному Вами методу мне знакомо,я просто спросил,верно ли предложенное мною доказательство 2-ой задачи?

Про первую задачу,признаюсь,я не очень-то понял Ваш комментарий.
Тут надо построить такое гомоморфное отображение $f$ и такие моноиды $M$ и $W$, чтобы из $Ker(f)=e$,где $e$ - нейтральный элемент моноида $M$, не следовала мономорфность $f:M-W$ гомоморфизма.
Априори,такие примеры существуют,просто надо их построить,но мне не удается.

[Alexiii]

Неужели ни у кого нет идей?

[Хорхе]

Например, $M=\mathbb{N}$, $W = \{0,1\}$, оба с обычным умножением, $f(1) = 1$, $f(x)=0$ для $x>1$.

[DM_13]

Ещё вариант $M=\mathbb{Z} \setminus \{-1, 0\}$, $W = \mathbb{N}$, с обычным умножением, $f(x) = |x|$.

[Alexiii]

Спасибо,ребята,вот еще пример -
$f:(N,N) - N, f(a,b)=a+b $
А насчет первой задачи все очень просто,там есть недодача - надо было указать,что $x$ и $y$ вместе со своими группами войдут и полностью заполнят группу,образованную элементом НОД$(x,y)Z$.

[bot]

Писал вчера, но отправить не удалось из-за проблем связи.

Alexiii писал(а):

Решение 2-ой задачи по изложенному Вами методу мне знакомо,я просто спросил,верно ли предложенное мною доказательство 2-ой задачи?

Ну, при некотором воображении его можно принять за доказательство того, что подгруппа $G$ вместе с любыми своими элементами $a$ и $b$ содержит их наибольший общий делитель $d=ax+by$.

Цитата:

Про первую задачу,признаюсь,я не очень-то понял Ваш комментарий.

Это из-за терминологии. Называть ядром гомоморфизма полный прообраз единицы плохо. С момента появления понятия конгруенции в абстрактной алгебре ядром гомоморфизма $\varphi$ называют конгруенцию $\ker \varphi$, определяемую по правилу:

$x \equiv y \pmod {\ker \varphi} \iff x \varphi = y \varphi $

Группы и кольца устояли - там по прежнему работают понятия нормального делителя и соответственно идеала, которые, соответственно ядро гомоморфизма там - это один смежных классов и никаких конгруенций. Они там не нужны и причина очевидна - эти классы по терминологии А.И.Мальцева - правильные, это означает, что всякая конгруенция может быть восстановлена по любому своему смежному классу.
Класс моноидов - неправильный, по "ядру" гомоморфизма, то есть по одному лишь прообразу единицы конгруенцию однозначно не восстановишь. Сам термин ядро в полугруппах в разнообразных смыслах используется, но без связи с гоморфизмами. Я сомневаюсь, что для прообраза единицы вообще имеется кокое-нибудь название, а уж устоявшийся термин ядро гомоморфизма употреблять для него совсем неуместно.

Примеров различных конгруенций в моноидах, имеющих общий класс смежности, в том числе и общий прообраз единицы так много, что глаза разбегаются. Вот к примеру:
Пусть $\varphi : S \rightarrow T$ - гоморфизм полугруппы $S$ в полугруппу $T$. Не имеет значения, есть ли единицы в $S$ и(или) $T$. Этих гомоморфизмов может быть очень много и в частности среди них будут неинъективные. Например, если в качестве $S, T$ взять полугруппы с нулевым умножением, то любое отображение $\varphi : S \rightarrow T$, переводящее ноль в ноль, будет гоморфизмом.
Превратим полугруппы $S$ и $T$ в моноиды, добавив к каждой внешнюю единицу, $e_S$ и $ e_T$ соответственно, а гомоморфизм $\varphi$ продолжим, полагая $\varphi : e_S \rightarrow e_T$ и вуаля: продолженный гоморфизм будет неинъективен, а проообраз единицы тривиален.
Примеры Хорхе и DM_13 в схему этого построения укладываются, несложно придумать и неукладывающиеся.

Alexiii писал(а):

Спасибо,ребята,вот еще пример -
$f:(N,N) - N, f(a,b)=a+b $

Это Вы о чём? Берёте аддитивную полугруппу на множестве N? И что с ней надо делать?