Писал вчера, но отправить не удалось из-за проблем связи.
Alexiii писал(а):
Решение 2-ой задачи по изложенному Вами методу мне знакомо,я просто спросил,верно ли предложенное мною доказательство 2-ой задачи?
Ну, при некотором воображении его можно принять за доказательство того, что подгруппа
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
вместе с любыми своими элементами
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
содержит их наибольший общий делитель
![$d=ax+by$ $d=ax+by$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/e/39e200f660c15421e7237e19db03dadf82.png)
.
Цитата:
Про первую задачу,признаюсь,я не очень-то понял Ваш комментарий.
Это из-за терминологии. Называть ядром гомоморфизма полный прообраз единицы плохо. С момента появления понятия конгруенции в абстрактной алгебре ядром гомоморфизма
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
называют конгруенцию
![$\ker \varphi$ $\ker \varphi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/7/937be24ddf57adfa37fb561ff1c225b682.png)
, определяемую по правилу:
![$x \equiv y \pmod {\ker \varphi} \iff x \varphi = y \varphi $ $x \equiv y \pmod {\ker \varphi} \iff x \varphi = y \varphi $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/b/10b99b4cfabb86ab4395fd63338e47fb82.png)
Группы и кольца устояли - там по прежнему работают понятия нормального делителя и соответственно идеала, которые, соответственно ядро гомоморфизма там - это один смежных классов и никаких конгруенций. Они там не нужны и причина очевидна - эти классы по терминологии А.И.Мальцева - правильные, это означает, что всякая конгруенция может быть восстановлена по любому своему смежному классу.
Класс моноидов - неправильный, по "ядру" гомоморфизма, то есть по одному лишь прообразу единицы конгруенцию однозначно не восстановишь. Сам термин ядро в полугруппах в разнообразных смыслах используется, но без связи с гоморфизмами. Я сомневаюсь, что для прообраза единицы вообще имеется кокое-нибудь название, а уж устоявшийся термин ядро гомоморфизма употреблять для него совсем неуместно.
Примеров различных конгруенций в моноидах, имеющих общий класс смежности, в том числе и общий прообраз единицы так много, что глаза разбегаются. Вот к примеру:
Пусть
![$\varphi : S \rightarrow T$ $\varphi : S \rightarrow T$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/0/0c083085331e4022a19e9d69c5bc5f1882.png)
- гоморфизм полугруппы
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
в полугруппу
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
. Не имеет значения, есть ли единицы в
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
и(или)
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
. Этих гомоморфизмов может быть очень много и в частности среди них будут неинъективные. Например, если в качестве
![$S, T$ $S, T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/0/6406bcd2dabfe29fbb61c5a804757c2f82.png)
взять полугруппы с нулевым умножением, то любое отображение
![$\varphi : S \rightarrow T$ $\varphi : S \rightarrow T$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/0/0c083085331e4022a19e9d69c5bc5f1882.png)
, переводящее ноль в ноль, будет гоморфизмом.
Превратим полугруппы
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
и
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
в моноиды, добавив к каждой внешнюю единицу,
![$e_S$ $e_S$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/9/f7945ca88048d431a4fde6915b21a31382.png)
и
![$ e_T$ $ e_T$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/d/d5d4941c10f1fc2817335e2b8595568b82.png)
соответственно, а гомоморфизм
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
продолжим, полагая
![$\varphi : e_S \rightarrow e_T$ $\varphi : e_S \rightarrow e_T$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/0/0d0f267ce92560bb8a1436b6036add1f82.png)
и вуаля: продолженный гоморфизм будет неинъективен, а проообраз единицы тривиален.
Примеры
Хорхе и
DM_13 в схему этого построения укладываются, несложно придумать и неукладывающиеся.
Alexiii писал(а):
Спасибо,ребята,вот еще пример -
![$f:(N,N) - N, f(a,b)=a+b $ $f:(N,N) - N, f(a,b)=a+b $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/f/1df34d44aaeec8461c4f371ed575a44982.png)
Это Вы о чём? Берёте аддитивную полугруппу на множестве N? И что с ней надо делать?