Случайность функции Мебиуса и броуновское движение

[vicvolf]

Свежая статья известного автора https://www.researchgate.net/publicatio ... hypothesis

Справедливость гипотезы Римана (ГР) о расположении нетривиальных нулей дзета-функции напрямую связана с ростом функции Мертенса: $M(x)=\sum_{k \leq x} \mu(k)$, где $\mu(k)$ - функция Мебиуса от натурального k.

ГР справедлива, если функция Мертенса растет асимптотически, как $M(x)=x^{1/2+\epsilon}$, где $\epsilonфункции Мертенса может быть установлено на основании $ - любая положительная постоянная.

Автор статьи считает, что такое поведение функции Мертенса может быть установлено на основании вероятностного подхода, основанного на глобальных свойствах функции Мертенса.

В работе рассматривается урезанная функция Мебиуса $\mu^*(k)$, определенная на числах без квадратов, и поэтому принимающая только два значения:1 и -1.

Автор на большом количестве статистических тестов, связанных с временными рядами, показывает ее случайность и что ее среднее значение равно 0. Последнее сделано в части D работы и я просил бы специалистов в этой области высказать свое мнение.

В работе на основании урезанной функции Мебиуса строится модифицированная функция Мертенса: $M^{*}(x)=\sum_{k \leq x} \mu^{*}(k)$ и показывается, что она является симметричным случайным блужданием. Отсюда делается вывод, что асимптотика данной функции подчиняется закону повторного логарифма, т.е. почти наверное выполняется ГР. Это выводится в части С работы и мне было бы интересно обсудить данный вопрос на форуме.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
В статье 90 страниц текста и, наверное, для "просто обсуждения" это многовато. Постарайтесь сформулировать что-то конкретное, что может являться поводом для такого обсуждения, и сообщите о внесенных изменениях в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[vicvolf]

Исправлю части работы:

vicvolf в сообщении #1541754 писал(а):

Автор на большом количестве статистических тестов, связанных с временными рядами, показывает ее случайность и что ее среднее значение равно 0. Последнее сделано в части С работы и я просил бы специалистов в этой области высказать свое мнение.

В работе на основании урезанной функции Мебиуса строится модифицированная функция Мертенса: $M^{*}(x)=\sum_{k \leq x} \mu^{*}(k)$ и показывается, что она является симметричным случайным блужданием. Отсюда делается вывод, что асимптотика данной функции подчиняется закону повторного логарифма, т.е. почти наверное выполняется ГР. Это выводится в части B работы и мне было бы интересно обсудить данный вопрос на форуме.

[alisa-lebovski]

Я сначала подумала, может, журнал какой-то левый, или автор, но нет. Удивительно, стыд какой.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообVyt ,s jxtym [jntkjcm epyfnm Dfit vytybt gj gjdjle ntcnjdщении #1542361 писал(а):

Я сначала подумала, может, журнал какой-то левый, или автор, но нет. Удивительно,

Мне бы хотелось бы услышать Ваше мнение по поводу справедливости статистических тестов? Просьба - просто просмотреть этот раздел. Не по поводу вопроса - стоило ли это делать - это другой вопрос. Понятно, что это детерминированная функция и автор это прекрасно понимает. Ну, если это отбросить и просто проверить утверждение автора, что урезанная функция Мебиуса - является хорошим генератором случайных чисел.
Автор пишет - Точка зрения, принятая в следующем, интересна сама по себе: именно в этой части статьи мы делаем вид, что не имеем априорных знаний о происхождении нашей исходной последовательности. В частности, наша цель будет заключаться в том, чтобы увидеть, можно ли такую последовательность рассматривать для цели, как действительно случайный ряд или, наоборот, если есть какие-то намеки, которые сигнализируют о его неслучайности природа через идентификацию некоторых периодических или других детерминированных свойств.

[lel0lel]

Множество натуральных чисел бесконечно. Статистические методы не могут служить доказательством, они являются только эмпирической проверкой без каких-либо точных оценок справедливости гипотезы. Такими темпами скоро докажут что $\pi$ это нормальное число.

[alisa-lebovski]

Видимо, дело в том, что статью писали физики, в журнал по физике. По этому поводу есть анекдот: как физик доказывает, что все нечетные числа, большие двух, простые. Он проверяет: 3, 5, 7 - простые. Потом 9 - составное, видимо, ошибка эксперимента. Далее: 11, 13 - простые. Значит, доказано. Это к тому, что в математике и физике разные требования к строгости и доказательствам.

Генераторы псевдослучайных чисел (в компьютерах) специально разрабатываются так, чтобы проходить разные статистические тесты. Однако они создают только иллюзию случайности, достаточно крепкую для прикладных целей, но не состоятельную математически. Вроде иллюзии движущегося изображения на экране или иллюзии Хари в "Солярисе". Но априори не известно, как далеко простирается эта иллюзия и на чем она "сломается". В данном случае, из прохождения статистических тестов НЕ следует закон повторного логарифма.

Но публикация подобных статей, конечно, дело вредное, потому что вызывает закономерный вопрос: если им так можно, почему нам нельзя? А никому нельзя. Я не знаю, что делать в такой ситуации, но надо как-то пресекать.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1542389 писал(а):

Видимо, дело в том, что статью писали физики, в журнал по физике. По этому поводу есть анекдот: как физик доказывает, что все нечетные числа, большие двух, простые. Он проверяет: 3, 5, 7 - простые. Потом 9 - составное, видимо, ошибка эксперимента. Далее: 11, 13 - простые. Значит, доказано. Это к тому, что в математике и физике разные требования к строгости и доказательствам.

Да, он физик и он это не отрицает, поэтому и пишет: Стоит подчеркнуть, что стиль, принятый в презентации, - это стиль физика-теоретика, а не математика. В связи с этим мы не претендуем на строгое доказательство представленных здесь результатов. Более того, хотели бы выразить надежду, что эта работа будет стимулировать дальнейшие строгие исследования настоящих математиков по этому вопросу и обратить внимание на возможный способ решения давней проблемы, такой как гипотеза Римана.

Цитата:

Генераторы псевдослучайных чисел (в компьютерах) специально разрабатываются так, чтобы проходить разные статистические тесты. Однако они создают только иллюзию случайности, достаточно крепкую для прикладных целей, но не состоятельную математически. Вроде иллюзии движущегося изображения на экране или иллюзии Хари в "Солярисе". Но априори не известно, как далеко простирается эта иллюзия и на чем она "сломается". В данном случае, из прохождения статистических тестов НЕ следует закон повторного логарифма.

Здесь немного другое. Специально генератор случайных чисел не разрабатывался. Есть арифметическая функция - урезанная функция Мебиуса и предлагается оценить статистическими тестами случайность, выдаваемых ей временных рядов. Проверяется только это. Вывод о справедливости закона повторного логарифма, строго математически, из этого не делается.

-- 11.12.2021, 11:44 --

lel0lel в сообщении #1542367 писал(а):

Множество натуральных чисел бесконечно. Статистические методы не могут служить доказательством, они являются только эмпирической проверкой без каких-либо точных оценок справедливости гипотезы. Такими темпами скоро докажут что $\pi$ это нормальное число.

Автор пишет: Для этого мы будет сравнивать сколь угодно большие подпоследовательности нашей последовательности с последовательностями, составленными из идеальных случайных переменных с двумя равновероятными значениями и проверять сходство их поведения.
Мы провели огромное количество тестов в интервале значений последовательности от 1 до $10^{16}$; хотя мы в основном сосредоточили свое внимание на последовательностях с $n>10^6$, чтобы избежать возможных нетипичных поведений ограниченной функции Мертенса при малых значениях индекса n.
Как объяснено более подробно ниже исследования в основном проводилось путем анализа блоков, состоящих из 160 млн. значений, и для всех блоков, которые мы анализировали, мы всегда наблюдали аналогичные результаты, независимо от начального значения блока.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1542393 писал(а):

Здесь немного другое. Специально генератор случайных чисел не разрабатывался.

Ну да, здесь генератор, можно сказать, образовался "естественным путем" (как, например, мираж в пустыне), а не создан человеком специально, но природа происходящего такова же.

[lel0lel]

alisa-lebovski в сообщении #1542389 писал(а):

дело в том, что статью писали физики, в журнал по физике

Это не всегда так. Знаю я немало физиков, которые признают только строгие доказательства.

vicvolf в сообщении #1542393 писал(а):

провели огромное количество тестов в интервале значений последовательности от 1 до $10^{16}$

теперь имеет смысл проверить интервал от $10^{16}$ до $10^{20}$. Если получится, то будет ещё одна статья.

[vicvolf]

lel0lel в сообщении #1542400 писал(а):

теперь имеет смысл проверить интервал от $10^{16}$ до $10^{20}$.

Автор пишет, что статистические тесты, которые мы использовали, в основном те, что предложены Дональдом Кнутом во 2 томе его книги «Искусство». компьютерного программирования [49], перечисленных в отчете Национального института стандартов и Technology (NIST) [50] или те, которые получены из тестов батарей Diehard, разработанных Джорджем Марсалья [51] вместе с другими из других источников. Все эти тесты были успешно выполнены с уровнем надежности 99%, что определяется распределением хи-квадрат.

[vicvolf]

Последовательность нулей функции Мертенса приведена здесь https://oeis.org/A028442

Обозначим значения этих нулей: $z_1,z_2,...$. В этом случае отрезки $[0,z_1],[0,z_2]...$ являются вложенными.

При $z_n \to \infty$ последовательность $[0,z_n]$ покрывает натуральный ряд.

На основании сказанного на отрезке $[0,z_n]$ для функции Мебиуса выполняется равенство вероятностей:

$P(\mu(k)=1)=P(\mu(k)=-1)$, где $k \leq z_n$ при $z_n \to \infty$.

Если рассматривать только значения $k$ - свободные от квадратов, то для урезанной функции Мебиуса получаем:

$P(\mu^{*}(k)=1)=P(\mu^{*}(k)=-1)=1/2$, где $k \leq z_n$ при $z_n \to \infty$.

[alisa-lebovski]

Значения $\mu(n)$ и $\mu(2n)$ отрицательно коррелированы, поскольку произведение $\mu(n)\mu(2n)$ принимает значения только $0$ и $-1$, но никогда $1$. Это простейший тест, на котором палится Мебиус.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1542551 писал(а):

Значения $\mu(n)$ и $\mu(2n)$ отрицательно коррелированы, поскольку произведение $\mu(n)\mu(2n)$ принимает значения только $0$ и $-1$, но никогда $1$. Это простейший тест, на котором палится Мебиус.

В статье же рассматривается урезанная функция Мебиуса, которая принимает только значения: $-1,+1$, а значение $0$ не принимает.

-- 12.12.2021, 11:19 --

vicvolf в сообщении #1542393 писал(а):

Как объяснено более подробно ниже исследования в основном проводилось путем анализа блоков, состоящих из 160 млн. значений, и для всех блоков, которые мы анализировали, мы всегда наблюдали аналогичные результаты, независимо от начального значения блока.

Попробую пояснить почему блоки брались равной длины.

Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в совокупность вероятностных пространств $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}{n}$. Тогда произвольную арифметическую функцию $f(k)$ (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как последовательность случайных величин $\xi_{n}$ на этих вероятностных пространствах: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$. На фиксированном вероятностном пространстве арифметическая функция является случайной величиной и на этом вероятностном пространстве можно говорить о мат. ожидании $\mathbb{E}\xi_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и дисперсии $\mathbb{D}\xi_{n}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}-\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}\right\rvert^{2}-\left\lvert\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\bigl\lvert f(k)\bigr\rvert^{2}-\left\lvert\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)\right\rvert^{2}$, также моментах более высоких порядков, а для вещественной $f$ — о функции распределения $F_{\xi_{n}}(x)=\frac{1}{n}\bigl\lvert\{k\leqslant n:f(k)\leqslant x\}\bigr\rvert$ и характеристической функции $\varphi_{\xi_{n}}(t)=\mathbb{E}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t\xi_{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tf(k)}$
Так вот, когда мы берем блок одной длины, то мы рассматриваем функцию Мертенса как случайную величину на каком-то фиксированном вероятностном пространстве, где можно определить для нее указанные вероятностные характеристики.