Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1541303 писал(а):

Вот почему Вам не надоедает спрашивать такие банальности ... :

Потому что это не банальности.

Цитата:

а само доказательство было выше.

Это не доказательство, а набор слов.

Цитата:

по определению интервала на его границах стоят числа с минимальным простым делителем больше $p_n$ (если это не так, то это не граница интервала, а его внутренность). Имея одно новое свободное простое число мы всегда можем поставить его на границу старого интервала включив таким образом её во внутренность нового интервала и расширив интервал минимум на 2. Что в этом может быть непонятно-то?!

Хорошо, тогда простой пример. В ПСВ$5$# максимальный интервал $23-29$ имеет нечетные простые делители $5,3$. $23$ и $29$ простые числа, которые естественно не делятся на 7. Значит не всегда, как Вы пишите, можно поставить на границу старого интервала новое свободное простое число. Могу привести другие примеры.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1541341 писал(а):

Хорошо, тогда простой пример. В ПСВ$5$# максимальный интервал $23-29$ имеет нечетные простые делители $5,3$. $23$ и $29$ простые числа, которые естественно не делятся на 7. Значит не всегда, как Вы пишите, можно поставить на границу старого интервала новое свободное простое число.

ВСЕГДА:

? forstep(p=23,29,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
23, 5, 3, 29,
? forstep(p=113,121,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
113, 5, 3, 7, 11,
? forstep(p=201,209,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
3, 7, 5, 3, 11,

Причём всегда можно и слева и справа.
В примере с 7 слева интервал расширился влево более чем на 2.

vicvolf в сообщении #1541341 писал(а):

$23$ и $29$ простые числа, которые естественно не делятся на 7.

Делимость границ интервала для $p_n\#$ на $p_{n+1}$ вообще ни при чём!

vicvolf в сообщении #1541341 писал(а):

Могу привести другие примеры.

Боже упаси. Сначала разберитесь с уже приведёнными.

-- 02.12.2021, 15:20 --

vicvolf в сообщении #1541341 писал(а):

Это не доказательство, а набор слов.

Потому что как записать это формулами вполне понятно (только писанины много) и оставил желающим в виде простого упражнения.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1541353 писал(а):

Делимость границ интервала для $p_n\#$ на $p_{n+1}$ вообще ни при чём!

Ваши примеры доказывают обратное:

Dmitriy40 в сообщении #1541353 писал(а):

? forstep(p=23,29,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
23, 5, 3, 29,
? forstep(p=113,121,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
113, 5, 3, 7, 11,
? forstep(p=201,209,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
3, 7, 5, 3, 11,

В этих примерах рассматриваются максимальные интервалы для ПСВ$5$#. Эти интервалы имеют длину 6 и делители 5,3. Мой пример: 23,5,3,29, в котором границы слева и справа не делятся на 7.

Ваш второй пример:113,5,3,119, в котором правая граница 119 делится на 7.

Третий Ваш пример: 203,5,3,209, в котором левая граница 203 делится на 7.

Так, что делимость границ максимального интервала ПСВ$p_n$# на $p_{n+1}$ важна.

Приведу еще примеры максимальных интервалов ПСВ$5$#: 53,5,3,59; 83,5,3,89; 143,5,3,149; 173,5,3,179 в которых границы не делятся на 7.

Ваши примеры показывают, что в ПСВ$5$# можно найти максимальные интервалы, в котором границы слева или справа делятся на 7, но нельзя говорить, что все максимальные интервалы ПСВ$5$# обладают таким свойством.

-- 02.12.2021, 23:59 --

Dmitriy40 в сообщении #1541142 писал(а):

При переходе к следующему простому числу мы всегда можем поставить его в первое свободное место в списке минимальных делителей (это такое, где минимальный простой делитель больше предыдущего простого числа). Такое свободное место гарантированно на границе предыдущего максимального интервала.

Это просто попытка формулировки общего утверждения (притом не совсем точная), а не доказательство.

Более точная формулировка. В ПСВ$p_n$# можно найти максимальные интервалы, в котором границы слева или справа делятся на $p_{n+1}$.

Если это доказать, то отсюда следует строгое возрастание функции Якобсталя.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1541434 писал(а):

В этих примерах рассматриваются максимальные интервалы для ПСВ$5$#.

Нет. ПСВ5# там только в первом примере, остальные два уже для ПСВ7# и интервалы уже не максимальные (для ПСВ7#).

vicvolf в сообщении #1541434 писал(а):

Приведу еще примеры максимальных интервалов ПСВ$5$#: 53,5,3,59; 83,5,3,89; 143,5,3,149; 173,5,3,179 в которых границы не делятся на 7.

Для меня ПСВ5# заканчивается числом 30. А ПСВ$p_n\#$ заканчивается числом $p_n\#$.
И я термин ПСВ вообще не использовал! Я рассматриваю числа лишь в интервалах $1\ldots p\#$. А уж ПСВ там или не ПСВ мне глубоко фиолетово. Мне достаточно списка минимальных простых делителей (или наибольшего общего делителя с $p_n\#$). Так что не надо мне приписывать свои фантазии, даже если они местами и правильные. Я пишу ПСВ лишь ради вашего удобства.

vicvolf в сообщении #1541434 писал(а):

Ваши примеры показывают, что в ПСВ$5$# можно найти максимальные интервалы, в котором границы слева или справа делятся на 7, но нельзя говорить, что все максимальные интервалы ПСВ$5$# обладают таким свойством.

Меня не интересует делимость границ ПСВ5# на 7, я из максимального интервала для ПСВ5# строю некий интервал для ПСВ7#, беря любой максимальный интервал от ПСВ5# и ставя на его границу (хоть левую, хоть правую) простое число 7, получаю какой-то (не обязательно максимальный) интервал уже в ПСВ7#, который гарантированно больше максимального интервала ПСВ5# и так же гарантированно максимальный интервал ПСВ7# не меньше этого построенного интервала ПСВ7#. Именно это позволяет мне утверждать о строгом возрастании функции Якобсталя (она не может быть меньше построенного мною интервала). Какие ещё там бывают интервалы в ПСВ7# предыдущей длины меня не интересует, главное обязательно существует построенный.

Короче.
Приведите хотя бы один контрпример, когда максимальный интервал между взаимно простыми с $p_n\#$ числами в диапазоне $1\ldots p_n\#$ не увеличивает свою длину при замене числа на границе (хоть левой, хоть правой) на кратное $p_{n+1}$ (и некратное меньшим) и не становится при этом правильным (но не обязательно максимальным) интервалом между взаимно простыми с $p_{n+1}\#$ числами в диапазоне $1\ldots p_{n+1}\#$. Именно это будет контрпримером к моему доказательству возрастания функции Якобсталя. Никакие ПСВ тут не упоминаются и что вы под ними подразумеваете мне до лампочки. Надеюсь что такое примориал и взаимно простые пояснять не надо ...

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1541442 писал(а):

Приведите хотя бы один контрпример, когда максимальный интервал между взаимно простыми с $p_n\#$ числами в диапазоне $1\ldots p_n\#$ не увеличивает свою длину при замене числа на границе (хоть левой, хоть правой) на кратное $p_{n+1}$ (и некратное меньшим) и не становится при этом правильным (но не обязательно максимальным) интервалом между взаимно простыми с $p_{n+1}\#$ числами в диапазоне $1\ldots p_{n+1}\#$. Именно это будет контрпримером к моему доказательству возрастания функции Якобсталя.

Контрпример может только опровергать утверждение, но отсутствие контрпримера не является доказательством утверждения. Так что обещанного доказательства так и не последовало!

[Yury_rsn]

Доказательство.
По индукции.
Пусть в ПСВ праймориала построен интервал с участием только нескольких простых из входящих в праймориал. Например, для 11# все числа интервала делятся на 2,3,5 и 7.
Очевидно, что если к каждому числу интервала прибавить число $2/dot3/dot5/dot7$ то все делимости каждого соответствующего числа в следующих интервалах сохранятся.
Теперь рассмотрим в каждом таком интервале первое нечётное число число справа от правой границы интервала. По условию, оно не делится на 2, ..., 7. Но оно принадлежит арифметической прогрессии с шагом math]$2/dot3/dot5/dot7$. Следовательно, это правое число за границей интервалов, пробегает полную систему вычетов взаимно простых с math]$2/dot3/dot5/dot7$ чисел. В том числе на каком-то шаге оно будет кратно 11.
Таким образом, у нас образуется интервал бОльшей длины, чем заданный, и в котором есть числа, крытные всем простым, входящим в данный праймориал.

(Пишу с телефона, если что - поправьте, плиз)

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1541475 писал(а):

Контрпример может только опровергать утверждение, но отсутствие контрпримера не является доказательством утверждения. Так что обещанного доказательства так и не последовало!

Т.е. контрпримера у вас нет. Хорошо.

Про доказательство же, укажите конкретно какой шаг я якобы не доказал:
1. Среди всех чисел $1\ldots p_n\#$ есть взаимно простые с $p_n\#$.
2. Максимальный интервал между ними назовём $d_n$. Он может быть не один в указанном интервале. Сами числа назовём границами, $p_{a_i} \ldots p_{b_i}, p_{b_i}-p_{a_i}=d_n$.
3. Возьмём любой из этих интервалов и посчитаем минимальные простые делители каждого из чисел внутри интервала (за исключением границ). Они все не более чем $p_n$.
4. Дополним список делителей интервала справа числом $p_{n+1}$.
5. По китайской теореме об остатках восстановим где в интервале $1\ldots p_{n+1}\#$ будет такой интервал, $p_{c_i} \ldots p_{d_i}, p_{d_i}-p_{c_i}=p_{b_i}-p_{a_i}=d_n$, что все его минимальные простые делители совпадут с нашим списком (включая и $p_{d_i}=0\pmod{p_{n+1}}$, но не включая $p_{c_i}$, которое остаётся левой границей интервала).
6. Теперь правое число $p_{d_i}$ уже не взаимно простое с $p_{n+1}\#$ (имеется общий делитель $p_{n+1}$), значит правая граница нового интервала $p_{x_i}$ (взаимно простое с $p_{n+1}\#$ число) сдвинется вправо, $p_{x_i}>p_{d_i}$, а новый интервал строго больше предыдущего $h_i=p_{x_i}-p_{c_i}>p_{d_i}-p_{c_i}=p_{b_i}-p_{a_i}=d_n$.
7. Так как брали любой из максимальных интервалов, то это выполняется для них всех. Но возможно с разными $h_i=p_{x_i}-p_{c_i}>d_n$ для каждого.
8. Максимум из $h_i$ назовём новым максимальным интервалом для $p_{n+1}\#$: $d_{n+1}=\max(h_i)=\max(p_{x_i}-p_{c_i})>d_n$.
9. Этим доказано что при переходе $n \to n+1$ он строго возрастает $d_{n+1}>d_n$.
ЧТД.
Строго доказывать пункты 5 и 6 в части что все $p_{d_i}$ и все $p_{x_i}$ строго меньше $p_{n+1}\#$ мне лень, но это очевидно возможно (хотя бы доказать что $p_{n+1}\#-1$ взаимно простое с $p_{n+1}\#$ и значит ни $p_{d_i}$ ни $p_{x_i}$ не могут сдвинуться правее него).
Строго доказывать в пункте 5 что левая граница останется на месте, т.е. $p_{c_i}\ne0\pmod{p_{n+1}}$ тоже лень, но это и неважно — если она вдруг будет сдвигаться влево (а такое возможно лишь если $d_n=0\pmod{2p_{n+1}}$), то интервал $h_i$ тем более будет больше $d_n$ и надо будет лишь в последующих формулах $p_{c_i}$ заменить на $p_{y_i}<p_{c_i}$ (а сдвинуться левее $1$ она в любом случае не сможет).

vicvolf
Так какой пункт не доказан, а?
Заметьте, нет ни ПСВ, ни перестановок. Кроме китайской теоремы об остатках вообще ничего дополнительного не привлекается.

-- 03.12.2021, 16:20 --

vicvolf
Вот какого фига я должен заниматься тягомотиной расписывая формально все эти банальности, а?! Если выше уже раз 5 сформулировал всё это словами? Дальше считаю что если вы что-то не поняли, то это уже ваши проблемы, разбирайтесь. Претензии принимаются лишь по существу. Возгласы "Так что обещанного доказательства так и не последовало!" таковыми не являются. Надоело.

-- 03.12.2021, 16:33 --

Yury_rsn
У Вас всё идейно правильно, но есть тонкие моменты: не доказано что будет именно арифметическая прогрессия; и что она доберётся до кратного 11 для интервала внутри $1\ldots 11\#$. Это всё конечно так, но придётся доказывать.
Хоть я и не понимаю всей этой тягомотины, ведь очевидно же что при добавлении нового простого в список наименьших простых делителей на первое свободное место мы гарантированно увеличиваем размер интервала, а значит и функцию Якобсталя. Очевидно, но формально записывать муторно.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1541491 писал(а):

Доказательство.
По индукции.
Пусть в ПСВ праймориала построен интервал с участием только нескольких простых из входящих в праймориал. Например, для 11# все числа интервала делятся на 2,3,5 и 7.
Очевидно, что если к каждому числу интервала прибавить число $2/dot3/dot5/dot7$ то все делимости каждого соответствующего числа в следующих интервалах сохранятся.
Теперь рассмотрим в каждом таком интервале первое нечётное число число справа от правой границы интервала. По условию, оно не делится на 2, ..., 7. Но оно принадлежит арифметической прогрессии с шагом math]$2/dot3/dot5/dot7$. Следовательно, это правое число за границей интервалов, пробегает полную систему вычетов взаимно простых с math]$2/dot3/dot5/dot7$ чисел. В том числе на каком-то шаге оно будет кратно 11.
Таким образом, у нас образуется интервал бОльшей длины, чем заданный, и в котором есть числа, крытные всем простым, входящим в данный праймориал.

(Пишу с телефона, если что - поправьте, плиз)

Идея неплохая, но индукция тут не причем.

Максимальный интервал в ПСВ7# с делителями 2,3,5,7 является 1-11. Другой максимальный интервал в ПСВ7# с делителями 2,3,7,5 является 199-209.

Вы предлагаете арифметическую прогрессию с шагом $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7=210$. На 11 шаге интервал 1-11 перейдет 2311-2321.

2321 действительно делится на 11, но находится за пределами ПСВ11# (11# не превосходит 2310). Тем более за пределами ПСВ11# после 11 шага будет интервал 199-209.

Аналогичная ситуация будет для любого $p_n$ в ПСВ$p_n$#.

[Dmitriy40]

vicvolf
Забыли что число 11 тоже кратно числу 11 и потому интервал 1-11 вполне подходит под озвученные условия (арифметической прогрессии с шагом 210 интервалов длиной 6, а вовсе не 10!). И он строго больше предыдущего максимального интервала длиной 6.
Вы постоянно путаете размеры интервалов. И примориалы.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1541525 писал(а):

vicvolf
Забыли что число 11 тоже кратно числу 11 и потому интервал 1-11 вполне подходит под озвученные условия (арифметической прогрессии с шагом 210 интервалов длиной 6, а вовсе не 10!). И он строго больше предыдущего максимального интервала длиной 6.
Вы постоянно путаете размеры интервалов. И примориалы.

Это Вы путаете размеры максимальных интервалов в ПСВ7#. Они длиной 10, а не 6. И я их указал. Разговор шел про интервал в ПСВ11# длиной 12, который больше 10. Рекомендовалась 11 раз прибавить по 210 к интервалу 1-11, точнее к числу 11. Я так и сделал.

Начальный интервал 1-$p_{n+1}$ будет максимальным только до ПСВ11#. Начиная с ПСВ13# он перестает быть максимальным и это не проходит.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1541516 писал(а):

Идея неплохая, но индукция тут не причем.

Ок. Слово "индукция" снимаем.

-- 03.12.2021, 21:39 --

vicvolf в сообщении #1541516 писал(а):

Максимальный интервал в ПСВ7# с делителями 2,3,5,7 является 1-11. Другой максимальный интервал в ПСВ7# с делителями 2,3,7,5 является 199-209.

Не. Максимальный интервал в ПСВ7# с делителями 2,3,7,5 - это 1-10. Точнее даже, 2-10.
Поэтому любой интервал, где справа добавляется число, кратное 11, сразу является ответом на ваш вопрос:
- интервал на ПСВ 11#, в котором присутствуют числа, кратные всем простым, входящим в 11#,
обязательно будет длиннее, чем интервал, в котором есть только числа, кратные лишь 2,3,7,5.

В том числе подходит и интервал 2-11

[Dmitriy40]

Да, тут я лажанулся с размерами, речь действительно про интервалы длиной 10 в ПСВ7#. И утверждается что любой из них преобразуется в интервал длиной 12 в ПСВ11# замещением границы на 11.
Проверим на втором из них:

? a=199; forstep(p=a,a+10,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
199, 3, 7, 5, 3, 11,
? forstep(a=199,2310-10,210, forstep(p=a,a+10,2, print1(factor(p)[1,1],", ")); print)
199, 3, 7, 5, 3, 11,
409, 3, 7, 5, 3, 419,
619, 3, 7, 5, 3, 17,
829, 3, 7, 5, 3, 839,
1039, 3, 7, 5, 3, 1049,
1249, 3, 7, 5, 3, 1259,
1459, 3, 7, 5, 3, 13,
1669, 3, 7, 5, 3, 23,
1879, 3, 7, 5, 3, 1889,
2089, 3, 7, 5, 3, 2099,
11, 3, 7, 5, 3, 2309,

Прекрасно видно что из интервала длиной 10 получились два интервала длиной минимум 11 в ПСВ11# замещением левой и правой границ числом 11.

vicvolf в сообщении #1541530 писал(а):

Начиная с ПСВ13# он перестает быть максимальным и это не проходит.

Проверка:

? a=20569; forstep(p=a,a+22,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
67, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 59,
? forstep(a=20569,510510-22,30030, forstep(p=a,a+22,2, print1(factor(p)[1,1],", ")); print)
67, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 59,
50599, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 223,
80629, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 80651,
41, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 110681,
140689, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 37,
79, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 170741,
367, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 200771,
230779, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 149,
260809, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 17, \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
290839, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 290861,
47, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 19,
350899, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 103,
380929, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 380951,
29, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 113,
440989, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 441011,
17, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 471041, \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
19, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 83,

Видим что снова интервал длиной 22 прекрасно превратился в интервалы (помечены) длиной минимум 23 в ПСВ17# замещением левой и правой границы числом 17.

vicvolf в сообщении #1541530 писал(а):

Начиная с ПСВ13# он перестает быть максимальным и это не проходит.

Ну и? Вот же арифметическая прогрессия, дающая нужные интервалы. Прекрасно проходит.

vicvolf
И где реакция на мой вопрос о недоказанном пункте?

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1541499 писал(а):

Yury_rsn
У Вас всё идейно правильно, но есть тонкие моменты: не доказано что будет именно арифметическая прогрессия; и что она доберётся до кратного 11 для интервала внутри $1\ldots 11\#$. Это всё конечно так, но придётся доказывать.

Про арифметическую прогрессию -

Очевидно, что это будет арифметическая прогрессия:
Возьмем интервал {a, a+1, a+2, ... a+n}, все числа которого кратны 2,3,5,7.
И построим такие же интервалы от чисел А
A=a+210k
Все числа в интервалах {A, A+1, A+2, ... A+n} будут соответственно кратны точно тем же самым числам, что и в интервале {a, a+1, a+2, ... a+n}.
Каждые соответствующие по номеру числа, в каждом из интервалов, будут сравнимы между собой по модулю 210.
Следовательно, и числа вида A=a+210k+1 (или A=a+210k+2), точно так же будут сравнимы между собой по модулю 210. Т.е., будут принадлежать арифметической прогрессии с шагом 210

Цитата:

и что она доберётся до кратного 11 для интервала внутри $1\ldots 11\#$.

Пусть для праймориала 11# мы нашли некий интервал {a, a+1, a+2, ... a+n}, все числа которого кратны 2,3,5,7 и 11. И пусть этот интервал находится ЗА пределами ПСВ 11#=2310. ( $1\ldots 11\#$)
Возьмем a=2310+t

Но мы ведь можем тогда построить аналогичный интервал, где все числа будут меньше 2310 - от числа t=a-2310
Т.е., - {t, t+1, t+2, ... t+n}
Очевидно, что все соответствующие числа этого нового интервала будут делиться точно на те же числа из 11# (на 2,3,5,7,11), что и исходный интервал.
Следовательно, этот интервал будет находиться внутри $1\ldots 11\#$, и все его числа будут кратны каким-либо простым из 11#

[Yury_rsn]

Yury_rsn в сообщении #1541543 писал(а):

Следовательно, и числа вида A=a+210k+1 (или A=a+210k+2), точно так же будут сравнимы между собой по модулю 210. Т.е., будут принадлежать арифметической прогрессии с шагом 210

Ошибка. Не дописал букву n в формулах. У нас же речь о правых границах интервалов.
Должно быть так:

Следовательно, и числа вида A+n+1=a+n+1+210k (или A+n+2=a+n+2+210k), точно так же будут сравнимы между собой по модулю 210.
Т.е., будут принадлежать арифметической прогрессии с шагом 210

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1541531 писал(а):

В том числе подходит и интервал 2-11

Таких интервалов в ПСВ нет. Есть только интервал 1-$p_{n+1}$. Я указываю границы интервала. В данном случае 1-11.

-- 04.12.2021, 10:23 --

Yury_rsn в сообщении #1541554 писал(а):

Т.е., будут принадлежать арифметической прогрессии с шагом 210

Вы зациклились на шаге 210, а надо доказывать в общем виде. При больших ПСВ максимальный интервал находится не в начале, поэтому после $p_{n+1}$ шагов мы можем выйти из ПСВ$p_n$#. Посмотрите здесь:

Dmitriy40 в сообщении #1541534 писал(а):

? a=20569; forstep(p=a,a+22,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
67, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 59,
? forstep(a=20569,510510-22,30030, forstep(p=a,a+22,2, print1(factor(p)[1,1],", ")); print)
67, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 59,
50599, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 223,
80629, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 80651,
41, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 110681,
140689, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 37,
79, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 170741,
367, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 200771,
230779, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 149,
260809, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 17, \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
290839, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 290861,
47, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 19,
350899, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 103,
380929, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 380951,
29, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 113,
440989, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 441011,
17, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 471041, \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
19, 3, 7, 5, 3, 13, 11, 3, 5, 7, 3, 83,

Возможны сдвиги в расположении первого большого интервала.