Стандартная топология в R. Определение.

[mihaild]

bayah в сообщении #1540202 писал(а):

В математике не надо думать?

При изучении математики иногда оказывается полезно на некоторое время поменьше задумываться и побольше думать об определениях.

bayah в сообщении #1540202 писал(а):

Если у нас имеется какая-то непротиворечивая система, то значит в моем утверждении должна быть ошибка.

Да, ошибка в том, что это утверждение неверно. Т.к. доказать его вы не пытались, то на ошибку в доказательстве указать не получится. Слово "логично" доказательством не является.
Вы, возможно, пытаетесь использовать следующий факт: если $A$ - конечное семейство множеств, вложенных друг в друга (т.е. если $a \in A$, $b \in A$ то $a \subseteq b$ или $b \subseteq a$), то пересечение их всех $\bigcap\limits_{a \in A} a$ является элементом $A$. Этот факт, в свою очередь, является частным случаем того, что в (линейно) упорядоченном конечном множестве существует наименьший элемент: упорядочим $A$ по отношению $\subseteq$ (т.е. $a \leqsant b \leftrightarrow a \subseteq b$), тогда наименьший элемент $A$ будет пересечением всех его элементов.
Для бесконечных множеств не выполнено ни первое, ни тем более второе.

bayah в сообщении #1540202 писал(а):

Вопроса принадлежит ли точка пересечению множеств не возникает. Вопрос в понимании какое именно множество будет являться пересечением.

Это один и тот же вопрос. Если мы про любую точку можем сказать, принадлежит она пересечению или нет, то мы можем сказать, какое множество является пересечением.

[Someone]

bayah в сообщении #1540202 писал(а):

Применительно к примеру я же не говорю только о интуиции. Я привожу вполне корректное, как мне кажется, рассуждение в тех же понятиях о которых идет речь в примере:

bayah в сообщении #1540175 писал(а):

Тут у нас множества заданные вложенными друг в друга интервалами. Логично, что пересечение таких интервалов должно быть одним из таких интервалов?

Если у нас имеется какая-то непротиворечивая система, то значит в моем утверждении должна быть ошибка. Нельзя же просто сказать - не делай таких утверждений, верно?

Ошибка в слове "логично". Ничего логичного в вашем рассуждении нет. Если Вы настаиваете на логичности, представьте формальное доказательство в языке теории множеств. Только тогда будете иметь право говорить о противоречивости.

[Mikhail_K]

bayah в сообщении #1540202 писал(а):

Нет, ну как не надо? В математике не надо думать?) Разве сами эти определения не результат рассуждений, да и вообще.

Смотрите: определения, конечно, являются результатом каких-то неформальных размышлений, убедивших того, кто эти определения ввёл, в их нужности и полезности.

Но после того как определения даны и зафиксированы, они не обсуждаются. Дальше ими просто нужно пользоваться и всё. Теоретически, любой может ввести какое угодно определение, вне зависимости от того, стояли за ним какие-то размышления или не стояли. Практически, если не стояли - то таким определением вряд ли кто-то заинтересуется.

"Думать" в математике - это два связанных, но разных процесса: 1) думать на формальном языке определений, законов логики и уже доказанных ранее утверждений. Из них по фиксированным правилам можно выводить новые утверждения; 2) думать на неформальном уровне, что кажется важным, что логичным, что правдоподобным. Важно не смешивать эти два процесса. С помощью первого из них (если им правильно пользоваться) можно понять, что пересечение наших интервалов - это именно $[-1,1]$, а не что-то другое, вне зависимости от того, насколько это кажется правдоподобным. С помощью второго, можно на досуге задуматься, почему определение пересечения именно такое, как есть, и не ввести ли какое-то другое определение пересечения, более разумное на Ваш взгляд. Но тогда его придётся назвать не пересечением (этот термин уже занят), а, например, bayah-пересечением, дать ему какое-то другое определение, и, может быть, bayah-пересечение наших интервалов будет уже чем-то другим, или вовсе не будет существовать. Вопрос лишь в том, в каких вопросах оно окажется полезнее пересечения обычного.