Уравнение x^3+kx^2+y^3=n

[nnosipov]

scwec в сообщении #1539913 писал(а):

2. Для $n=1$ найдите 1-параметрическое решение уравнения в положительных рациональных $x,y$.

Иными словами, при $n=1$ род кривой становится равным $0$ (эллиптическая кривая превращается в рациональную). Для параметризации ищем особую точку, затем проводим через нее секущие. Maple дает возможность сразу увидеть результат.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1539923 писал(а):

Maple дает возможность сразу увидеть результат.

Все так. Но в условии $x,y$ должны быть положительными.
Итак, по п.2 нужен ответ с положительными $x,y$

[lel0lel]

scwec в сообщении #1539927 писал(а):

Но в условии $x,y$ должны быть положительными.
Итак, по п.2 нужен ответ с положительными $x,y$

Этого, как правило, можно добиться подходящей заменой параметра.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1539927 писал(а):

Но в условии $x,y$ должны быть положительными.

Это легко: определяем геометрически два крайних положения секущей, что и даст граничные значения параметры (они, правда, окажутся иррациональными, но это не беда).

[scwec]

Если всё легко и просто, то кто-нибудь даст конкретный ответ по п.2?
А там ещё есть и п.1.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1539936 писал(а):

Если всё легко и просто, то кто-нибудь даст конкретный ответ по п.2?

Да не вопрос:

$$x=-\frac{t^3-2t^2+t-1}{t^3+1}, \quad y=\frac{t^3-t^2+2t-1}{t^3+1},$$

где $t$ --- рациональное число из интервала $(1/(\alpha+1),\alpha+1) \approx (0{.}57,1{.}75)$, $\alpha$ --- вещественный корень уравнения $x^3+x^2-1=0$.

Все это находится по стандартному рецепту, описанному выше. И это, кстати, все рациональные решения $(x,y)$ в положительных числах.

Забавный момент: если вдруг случайно взглядом не напороться на изолированную особую точку $(-1,-1)$ на графике этой кривой, то очень трудно (визуально) отличить ее от эллиптической кривой типа $x^3+y^3=1$.

-- Сб ноя 20, 2021 22:18:33 --

scwec в сообщении #1539936 писал(а):

А там ещё есть и п.1.

Нет, здесь я пас. На днях вдоволь поразвлекался с подобной задачей про кривую $y^2=x^3+x+n^2$, хорошего помаленьку.

[scwec]

Решение nnosipov принимается.
Но для п.2 имелась в виду следующая 1-параметризация
$x=\dfrac{3496T^6+2024T^4+390T^2+25}{2(3140T^6+1878T^4+375T^2+25)}$
$y=\dfrac{2744T^6+1724T^4+360T^2+25}{2(3140T^6+1878T^4+375T^2+25)}$
Её можно получить, например, из Maple-параметризации от nnosipov, (которая не дает положительных $x,y$ при любом значении $t$)
переходом от параметра t к параметру T (как заметил lel0lel), а именно $t=\dfrac{26T^2+5}{24T^2+5}$
Эта 1-параметризация дает при любом $T$ положительные значения $x,y$.
(Замечу также, что данная параметризация получена мной из других соображений и это связано с п.1).

[nnosipov]

scwec в сообщении #1539969 писал(а):

Эта 1-параметризация дает при любом $T$ положительные значения $x,y$.

На всякий случай: не все. Кстати, а любое ли рациональное $t$ из области значений функции $f(T)=(26T^2+5)/(24T^2+5)$ имеет рациональный прообраз $T$? Даже это не очевидно.

Upd. Хотя нет, очевидно: конечно, не любое.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1539970 писал(а):

На всякий случай: не все.

Согласен, конечно, не все.