Уравнение x^3+kx^2+y^3=n

[scwec]

Для любых заданных рациональных $n$ и $k\ne{0}$, найдите рациональные $x,y$ такие, что $x^3+kx^2+y^3=n$.

[Коровьев]

При $$\[y = - x - \frac{k}{3}\]$ сразу находится одно решение

$$\[ x = - \frac{{27n + k^3 }}{{9k^2 }};y = \frac{{27n - 2k^2 }}{{9k^2 }} \]$

[scwec]

Коровьев, чуть-чуть подправить $y$.

[Коровьев]

Да, описка. Спасибо. Правильно так

$$\[ y = \frac{{27n - 2k^3 }}{{9k^2 }} \]$

Интересно, есть ли другое решение уравнения.

[nnosipov]

Коровьев в сообщении #1512658 писал(а):

Интересно, есть ли другое решение уравнения.

Над полем рациональных дробей от $k$, $n$ решений бесконечно много.

[scwec]

По аоводу других решений.
Приведем исходное уравнение к уравнению эллиптической кривой в форме Вейерштрасса.
$W^2=U^3-432n^2+64nk^3$.
Решение Коровьев соответствует рациональной точке $P=(U,W)$, где
$U=\dfrac{4(k^6-108k^3{n}+729{n^2})}{9k^4}$
$W=-\dfrac{4(2k^9+405k^6{n}-8748{k^3}{n^2}+39366n^3)}{27k^6}$
Рациональной точке $(-P)$ cсоответствует уже громоздкие выражения для $x,y$
$x=\dfrac{k^{15}+1107k^{12}{n}-91125k^9{n^2}+1259712k^6{n^3}-6908733k^3{n^4}[phone]{n^5}}{9k^2(7k^{12}+108k^9{n}+10935k^6{n^2}-157464k^3{n^3}+531441n^4)}$
$y=-\dfrac{4k^{15}-2214k^{12}{n}+20412k^9{n^2}+433026k^6{n^3}-5314410k^3{n^4}[phone]n^5}{9k^2(7k^{12}+108k^9{n}+10935k^6{n^2}-157464k^3{n^3}+531441n^4)}$
Бесконечное число решений получается, например, при рассмотрении рациональных точек $\pm{2P},\pm{3P},\pm{4P}...$ и вычислении для них соответствующих $x,y$
По Лутц-Нагелю для целых $n,k$ таких рациональных точек бесконечное число. Для нецелых $n,k$ достаточно вычислить координаты точек $P,2P,3P,4P,...17P$ и убедиться, что эти точки различны . Тогда на нашей кривой, по Мазуру, есть точка бесконечного порядка и рациональных точек на кривой бесконечное число.
Вообще, у исходного уравнения, наверное, есть и решения с компактными выражениями для $x,y$ кроме удачно полученного решения Коровьев.

[dmd]

$x^3+kx^2+y^3=n\implies (k (2 x^2 + k x))^2 + (2 (y^3 - n))^2 = (k^2 x - 2 (y^3 - n))^2$

[nnosipov]

Еще одно замечание: при целых $n$ и $k \neq 0$ на кривой $x^3+kx^2+y^3=n$ лежит только конечное множество целых точек $(x,y)$ (они могут быть найдены с помощью элементарного алгоритма).

[scwec]

dmd, согласен, но приведите выражения для $x,y$.

nnosipov в сообщении #1512680 писал(а):

они могут быть найдены с помощью элементарного алгоритма).

Насчет конечного числа целых точек согласен. Это теорема Морделла.
А какой элементарный алгоритм имеется в виду, можно ссылку?

[nnosipov]

scwec в сообщении #1512684 писал(а):

А какой элементарный алгоритм имеется в виду, можно ссылку?

Это, скорее, фольклор: нужно выражение $x^3+kx^2-n$ "зажать" между двумя последовательными кубами. (В народе более популярно зажимание между двумя последовательными квадратами, но можно обобщить и на кубы, и на вообще любые степени.) Если же говорить более серьезно, то это частный (и, так уж оказалось, элементарный) случай метода Рунге для диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1512691 писал(а):

это частный (и, так уж оказалось, элементарный) случай метода Рунге для диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

Да-да, вспомнил Вашу статью 2015 года на эту тему. Мог и сразу догадаться.
Но здесь эллиптические кривые имелись в виду, а может быть появится еще решение с компактным ответом
без их применения.

[scwec]

В продолжении темы.
Для любого положительного рационального $n$ предлагается найти такие положительные рациональные $x,y$, что $x^3+x+n^3+n=y^3+y$.

[scwec]

Ответ.
$x=\dfrac{n(81n^{12}+162n^{10}+162n^8+108n^6+45n^4+12n^2+1)}{27n^8+27n^6+18n^4+6n^2+1}$
$y=\dfrac{n(9n^6+9n^4+6n^2+2)(9n^6+9n^4+3n^2+1)}{27n^8+27n^6+18n^4+6n^2+1}$
Если поменять местами в исходном уравнении $n^3+n$ и $y^3+y$, то всё становится намного сложней.
В этой области классический результат:
любое положительное рациональное число представимо в виде суммы четырех положительных кубов рациональных чисел.

[scwec]

Вот совсем компактный ответ к предыдущему уравнению $x^3+x+n^3+n=y^3+y$ с положительными рациональными $n,x,y$
$x=\dfrac{3n^2 + 1}{3n(3n^4+3n^2+1)}, y=\dfrac{9n^6+9n^4+3n^2+1}{3n(3n^4+3n^2+1)}$

[scwec]

Вот задача их серии исходной.
Рассматривается уравнение $x^2+x^3+y^2+y^3+xy=n^2$
1.Докажите, что для любого рационального $n$ это уравнение имеет решение в рациональных $x,y$.
2. Для $n=1$ найдите 1-параметрическое решение уравнения в положительных рациональных $x,y$.