Преобразовать комплексную функцию f(x, y) к f(z)

[artempalkin]

mihiv в сообщении #1539227 писал(а):

функция является аналитической

А причем здесь аналитичность?

[mihiv]

Для аналитической функции выполняются условия Коши -Римана.

[ewert]

mihiv в сообщении #1539227 писал(а):

если функция комплексного переменного понимается в обычном смысле как закон соответствия между элементами двух множеств , то любая комплекснозначная функция двух действительных переменных $f_1(x,y)+if_2(x,y)$ это $f(z) (z=x+iy)$.

Это просто неверно. Если под зет понимается именно $x+iy$, то функция от этого выражения -- отнюдь не есть произвольная функция ит икса и игрека.

Но это формальность. По существу же бессмысленно говорить о функциях именно комплексного переменного, если понимать под ними произвольные функции двух вещественных. Это попросту заведомо не информативно.

[amon]

mihiv в сообщении #1539227 писал(а):

Мне кажется, что если функция комплексного переменного понимается в обычном смысле как закон соответствия между элементами двух множеств , то любая комплекснозначная функция двух действительных переменных $f_1(x,y)+if_2(x,y)$ это $f(z) (z=x+iy)$.

На языке рабочих и крестьян. У нас были переменные $x$ и $y.$ Я хочу ввести новые переменные. Их должно быть две. Одна из них - $z=x+iy.$ Через нее я не могу выразить обе старые переменные, поэтому мне надо вводить еще одну - $x-iy.$ Тогда в общем случае получится $f(z,z^*).$ Аналитические функции славны тем, что они от $z^*$ не зависят, и их можно записать как $f(z).$

[мат-ламер]

amon в сообщении #1539235 писал(а):

У нас были переменные $x$ и $y.$ Я хочу ввести новые переменные. Их должно быть две. Одна из них - $z=x+iy.$ Через нее я не могу выразить обе старые переменные,

$x=\operatorname{Re} z $ , $y=\operatorname{Im} z $ .

[artempalkin]

Ничо не понимаю.
Рассмотрим произвольную комплекснозначную функцию комплексного переменного $f(z)$. Очевидно, действительная и мнимая часть, которые она возвращает, зависят от того, какие действительную и мнимую часть она получает в аргументе. Итого, $f(z)=f_1(\operatorname{Re} z,\ \operatorname{Im} z)+i\cdot f_2(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z)$.

И наоборот выражение вида $f_1(\operatorname{Re} z,\ \operatorname{Im} z)+i\cdot f_2(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z)$, очевидно, есть комплекснозначная функция комплексного переменного.

О чем мы тут спорим? Видимо, математические зубры типа ewert имеют в виду какие-то совершенно неподвластные простым умам вещи :)

[ewert]

artempalkin в сообщении #1539237 писал(а):

имеют в виду какие-то совершенно неподвластные простым умам вещи :)

Они имеют в виду, что нет смысла придумывать бессмысленные математические конструкции. Да, есть такое понятие, как векторная функция векторного аргумента (в частности, из $\mathbb R^2$ в $\mathbb R^2$). Но абсолютно бессмысленно интерпретировать эту злосчастную Эр-два как комплексную плоскость -- до тех пор, пока не привлекаются какие-то свойства этих функций, специфические именно для комплексной плоскости.

[mihiv]

Действительно, аналитические функции наиболее интересны и полезны, но, например, мы же считаем полноправными функциями недифференцируемые функции действительного переменного.

[artempalkin]

ewert в сообщении #1539241 писал(а):

свойства этих функций, специфические именно для комплексной плоскости

Типа, условия Коши-Римана?

Но в целом вот это я бы и назвал

artempalkin в сообщении #1539237 писал(а):

неподвластные простым умам вещи

[ewert]

artempalkin в сообщении #1539244 писал(а):

Но в целом вот это я бы и назвал

artempalkin в сообщении #1539237 писал(а):

неподвластные простым умам вещи

Это, видимо, потому, что Вы ни разу в жизни не преподавали ТФКП. А если б хоть раз попытались -- перед Вами немедленно встал бы вопрос мотивации: как объяснить студентам -- с какой, собственно, стати именно аналитические функции нам любопытны?..

Так вот именно с такой: понятие дифференцируемости для ФКП внешне выглядит ровно так же, как и для обычной вещественной переменной, но вдруг неожиданно выясняется, что за этим скрываются гораздо более глубокие вещи, влекущие за собой довольно далеко идущие последствия.

[мат-ламер]

А в курсе ТФКП вполне могут встречаться и неаналитические функции. Просто для иллюстрации, показать, что бывают и такие; показать, что из вещественной дифференцируемости комплексная не следует; в качестве упражнения на проверку аналитичности и т.д.

[artempalkin]

ewert в сообщении #1539247 писал(а):

Это, видимо, потому, что Вы ни разу в жизни не преподавали ТФКП. А если б хоть раз попытались -- перед Вами немедленно встал бы вопрос мотивации: как объяснить студентам -- с какой, собственно, стати именно аналитические функции нам любопытны?..

Так вот именно с такой: понятие дифференцируемости для ФКП внешне выглядит ровно так же, как и для обычной вещественной переменной, но вдруг неожиданно выясняется, что за этим скрываются гораздо более глубокие вещи, влекущие за собой довольно далеко идущие последствия.

Интересненько. То есть, я правильно понимаю, ваш вывод такой: "говорить, что $f(z)$ есть $f_1(x,\ y)+i\cdot f_2(x,\ y)$ - это неправильно и даже

ewert в сообщении #1539234 писал(а):

Это просто неверно

а те, кто так не считают, никогда не преподавали и "даже не пытались" преподавать ТФКП"?

[amon]

artempalkin в сообщении #1539251 писал(а):

говорить, что $f(z)$ есть $f_1(x,\ y)+i\cdot f_2(x,\ y)$ - это неправильно

Попробуйте записать функцию $f(x,y)=x+y+i$ как $f(z).$ Потом проделайте тоже самое для $f(x,y)=x+iy+i.$ Помедитируйте над разницей.

[artempalkin]

amon в сообщении #1539257 писал(а):

Попробуйте записать функцию $f(x,y)=x+y+i$ как $f(z).$

Нет никакой разницы, и вы прекрасно это понимаете. Неаналитичность не делает функцию не-функцией. $f(z)$ - это отображение, которое может иметь любой вид, например, табличный.

[Someone]

Сборник задач по теории аналитических функций. Под редакцией М. А. Евграфова. "Наука", Москва, 1972.

Глава I. Введение.
§ 3. Функции, кривые, интегрирование.
4°. Функции комплексного переменного.
     Если каждой точке $z$ некоторого множества $E$ расширенной комплексной плоскости поставлено в соответствие комплексное число $f(z)$, то говорят, что на множестве $E$ определена функция $f(z)$ комплексного переменного $z$.
     Функцию $f(z)$ комплексного переменного $z=x+iy$ можно рассматривать как пару функций $u(x,y)$, $v(x,y)$

$$u(x,y)=\operatorname{Re}f(x+iy),\quad v(x,y)=\operatorname{Im}f(x+iy)$$

двух действительных переменных $x$ и $y$. Поэтому для функций комплексного переменного естественным образом определяются понятия предела, непрерывности, криволинейного интеграла и т. д. Например, функция $f(z)$ непрерывна на множестве $E$, если и функция $\operatorname{Re}f(x+iy)$, и функция $\operatorname{Im}f(x+iy)$ непрерывны на множестве $E$.
6°. Отображения.
     Во многих вопросах комплекснозначную функцию $f(z)$, определённую на множестве $E$ комплексной плоскости $z$, удобно рассматривать как отображение этого множества в другую комплексную плоскость $w$. Очевидно, это отображение равносильно отображению множества $E$ плоскости $(x,y)$ в плоскость $(u,v)$ парой действительных функций $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$, где

$$u(x,y)=\operatorname{Re}f(x+iy),\quad v(x,y)=\operatorname{Im}f(x+iy).$$

$$\vdots$$

$$*\ *\ *$$

     Отображение $w=f(z)$ конечной области $D$ комплексной плоскости называется дифференцируемым в точке $z_0=x_0+iy_0$, если функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$, где

$$u(x,y)=\operatorname{Re}f(x+iy),\quad v(x,y)=\operatorname{Im}f(x+iy),$$

дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)$. Отображение области $D$, дифференцируемое в каждой точке этой области, называется дифференцируемым отображением области $D$.
Глава II. Регулярные функции.
§ 8. Условия Коши–Римана. Гармонические функции.
     Функция $f(z)$, определённая в некоторой окрестности точки $z_0$, называется дифференцируемой в этой точке, если существует конечный предел

$$\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},$$

называемый производной функции $f(z)$ в точке $z_0$.