Преобразовать комплексную функцию f(x, y) к f(z)

[Kevsh]

У меня есть функция:
$f(x, y)=\frac{x-yi}{x^2+y^2}+x+C$, так вот мне нужно найти эту $C$, если известно, что $f(1)=2$. Как я понял, нужно преобразовать функцию к виду $f(z)$ при $z=x+iy$, уже туда подставлять эту единичку и смотреть, чему равна константа, но я вообще не понимаю, как это сделать не подбором. Более того, я искал в интернете подобные примеры, так там вообще просто говорят что-то типо: учитывая, что $f(0)=1$ можно сказать, что $C=2$, при этом имея функцию $f(x, y)$. Вот у меня и возникли сомнения – может можно как-то проще подставить всё это дело, не преобразовывая функцию к $f(z)$?

[Someone]

Kevsh, а если$z=1$, то чему равны $x$ и $y$?

[Kevsh]

Someone
1 и 0? Просто я не был уверен, что так можно делать.

[amon]

Kevsh в сообщении #1539168 писал(а):

если известно, что $f(1)=2$. Как я понял, нужно преобразовать функцию к виду $f(z)$

А я условия не понимаю. Функция $f(x, y)=\frac{x-yi}{x^2+y^2}+x+C$ не удовлетворяет условию Коши-Римана, и представить ее в виде $f(z)$ невозможно.

[ewert]

Причём мешает только самый последний икс, с дробью-то всё нормально.

[mihiv]

Функция не обязательно должна быть аналитической: $f(z)=\dfrac 1z+ \frac 12(z+\bar z)$.

[artempalkin]

amon в сообщении #1539195 писал(а):

представить ее в виде $f(z)$ невозможно.

а что значит вид $f(z)$? :) Она является функцией комплексного переменного, а значит $f(z)$.

amon в сообщении #1539195 писал(а):

не удовлетворяет условию Коши-Римана, и представить ее в виде $f(z)$ невозможно.

То есть если функция не удовлетворяет условию Коши-Римана, ее невозможно представить в виде $f(z)$ (даже если понимать это в том смысле, в котором вы понимаете)?

[ewert]

artempalkin в сообщении #1539204 писал(а):

То есть если функция не удовлетворяет условию Коши-Римана, ее невозможно представить в виде $f(z)$

Да, невозможно. Запись в виде $f(z)$ подразумевает, что функция зависит только от $z$, но не от $\overline z$. А в Вашем случае это неправда.

(ну может, конечно, сочинители задачки имели в виду, что комплексное сопряжение есть тоже функция от зет; но тогда они просто откровенно безграмотны)

[artempalkin]

ewert в сообщении #1539209 писал(а):

А в Вашем случае это неправда.

Не в моем, но мне нравится этот вариант.

ewert в сообщении #1539209 писал(а):

Запись в виде $f(z)$ подразумевает, что функция зависит только от $z$, но не от $\overline z$.

Это почему? :)

-- 14.11.2021, 21:09 --

А если такую функцию рассмотреть $f(z)=|z|$, тоже "неправильная" запись, которую не подразумевает "вид $f(z)$"? :) Слишком много условностей

-- 14.11.2021, 21:10 --

В целом я прекрасно понимаю, о чем речь, но строго математически любая комплексная функция есть $f(z)$ и никаких "видов $f(z)$" не бывает

[ewert]

artempalkin в сообщении #1539211 писал(а):

$f(z)=|z|$, тоже "неправильная" запись, которую не подразумевает $f(z)$? :) Слишком много условностей

Что значит неправильная. Написать-то можно что угодно; на заборах тоже много чего пишут. Просто это не имеет никакого отношения к ТФКП. А если вопрос не в ней -- то и вопрос откровенно дурацкий.

[artempalkin]

ewert в сообщении #1539213 писал(а):

А если вопрос не в ней -- то и вопрос откровенно дурацкий.

Но по факту вопрос в задаче ТС "найти константу". Про "представить в виде" это он сам придумал.

[amon]

artempalkin в сообщении #1539215 писал(а):

Но по факту вопрос в задаче ТС "найти константу"

Kevsh в сообщении #1539168 писал(а):

если известно, что $f(1)=2$.

Кто бы мне объяснил, что означает последнее равенство, если $f$ - функция двух переменных, либо $x$ и $y,$ либо $z$ и $z^*$?

[artempalkin]

amon в сообщении #1539220 писал(а):

Кто бы мне объяснил, что означает последнее равенство, если $f$ - функция двух переменных, либо $x$ и $y,$ либо $z$ и $z^*$?

Я думаю, это вольная интерпретация автором реального условия, которое мы не узнаем :)

[ewert]

artempalkin в сообщении #1539211 писал(а):

ewert в сообщении #1539209 писал(а):

Запись в виде $f(z)$ подразумевает, что функция зависит только от $z$, но не от $\overline z$.

Это почему? :)

А, да, это я пропустил. Это потому. Что, говоря на жаргоне, функция является аналитической, если $\Delta f=A\Delta z+o(\Delta z)$, а вовсе не $\Delta f=A\Delta z+B\Delta\overline z+o(\Delta z)$, как это было бы для произвольной функции двух вещественных переменных.

[mihiv]

Мне кажется, что если функция комплексного переменного понимается в обычном смысле как закон соответствия между элементами двух множеств , то любая комплекснозначная функция двух действительных переменных $f_1(x,y)+if_2(x,y)$ это $f(z) (z=x+iy)$.