Оценка мат. ожидания

[mihaild]

--mS-- в сообщении #1539006 писал(а):

они суть

$$\widehat\mu = \dfrac{n}{n+m}\overline X + \dfrac{m}{n+m}\overline Y, $$

Не выглядит похожим на правду. Если у $X$ дисперсия почти $0$, а у $Y$ гигантская, то сместив оценку в сторону $\overline X$ мы получим солидное улучшение в слагаемом правдоподобия, соответствующем $X$, и довольно небольшое ухудшение в слагаемом, соответствующем $Y$.

[--mS--]

mihaild в сообщении #1539022 писал(а):

Не выглядит похожим на правду.

Ну естественно: двойку в знаменателе потеряла:

$$ \widehat\mu = \dfrac{2n}{2n+m}\overline X + \dfrac{m}{2n+m}\overline Y.$$

-- Вс ноя 14, 2021 00:44:46 --

Otta в сообщении #1539011 писал(а):

.
А да вот, обычно да. А где посмотреть (глазками) про альтернативы? Книжку посоветуйте, пожалуйста.

Стоит ли демонизировать терминологию? Если несколько выборок из независимых и одинаково распределённых величин назвать "выборкой", мир не обрушится.
Любая литература по регрессионному анализу, последовательному анализу, многовыборочным критериям и т.д. и т.п. Ну или первое, что под руку попалось - Боровков А.А. "Математическая статистика" гл. 5 "Статистика разнораспределенных наблюдений".

[artempalkin]

--mS-- в сообщении #1539049 писал(а):

Ну естественно: двойку в знаменателе потеряла:

$$ \widehat\mu = \dfrac{2n}{2n+m}\overline X + \dfrac{m}{2n+m}\overline Y.$$

Это интересно, но не могли бы вы пояснить, откуда вы взяли такую формулу?

-- 13.11.2021, 21:48 --

Александрович в сообщении #1538944 писал(а):

$\hat{\mu}=\frac{100\hat{\mu}_X+10\hat{\mu}_Y} {110}$

zykov в сообщении #1538945 писал(а):

Там должно быть $\hat{\mu}=\frac{100\hat{\mu}_X+5\hat{\mu}_Y} {105}$, т.к. для Y сигма меньше.

Друзья, а вы не могли бы пояснить, откуда вы берете эти формулы?
Ну то есть я понимаю, что задача очень общая, и вообще оценкой может быть любая формула, какая захочется. Но какие-то пояснения все же помогли бы понять лучше суть этих формул

[zykov]

artempalkin в сообщении #1539067 писал(а):

Друзья, а вы не могли бы пояснить, откуда вы берете эти формулы?

Из maximum likelihood.
Максимум $e^{-\frac{\Delta x_1^2}{\sigma_1^2}}e^{-\frac{\Delta x_2^2}{\sigma_2^2}}...e^{-\frac{\Delta x_n^2}{\sigma_n^2}}$ означает минимум $\frac{\Delta x_1^2}{\sigma_1^2}+\frac{\Delta x_2^2}{\sigma_2^2}+...+\frac{\Delta x_n^2}{\sigma_n^2}$.
Т.е. $\hat \mu = (\frac{x_1}{\sigma_1^2}+\frac{x_2}{\sigma_2^2}+...+\frac{x_n}{\sigma_n^2})/(\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_2^2}+...+\frac{1}{\sigma_n^2)}$.
Тут будет 100 слагаемых с сигмой в квадрате $1$ и ещё 10 слагаемых с сигмой в квадрате $2$.

[artempalkin]

zykov в сообщении #1539074 писал(а):

Из maximum likelihood.
Максимум $e^{-\frac{\Delta x_1^2}{\sigma_1^2}}e^{-\frac{\Delta x_2^2}{\sigma_2^2}}...e^{-\frac{\Delta x_n^2}{\sigma_n^2}}$ означает минимум $\frac{\Delta x_1^2}{\sigma_1^2}+\frac{\Delta x_2^2}{\sigma_2^2}+...+\frac{\Delta x_n^2}{\sigma_n^2}$.
Т.е. $\hat \mu = (\frac{x_1}{\sigma_1^2}+\frac{x_2}{\sigma_2^2}+...+\frac{x_n}{\sigma_n^2})/(\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_2^2}+...+\frac{1}{\sigma_n^2)}$.
Тут будет 100 слагаемых с сигмой в квадрате $1$ и ещё 10 слагаемых с сигмой в квадрате $2$.

А, ну это я тоже считал (только не выражал через оценки средних отдельных распределений).

А вот это откуда

--mS-- в сообщении #1539049 писал(а):

$$ \widehat\mu = \dfrac{2n}{2n+m}\overline X + \dfrac{m}{2n+m}\overline Y.$$

?

[zykov]

Так это тоже самое. Поделите числитель и знаменатель на 2 и подставьте $n=100$ и $m=10$.

[artempalkin]

zykov в сообщении #1539079 писал(а):

Так это тоже самое. Поделите числитель и знаменатель на 2 и подставьте $n=100$ и $m=10$.

Ааа, ну хорошо. Получается, мы в конечном итоге вроде бы пришли к тому, что ММП здесь вполне подходит

[zykov]

Нет, мы просто применили ММП и получили результат.
А подходит он или нет - это совсем другой вопрос.

[Otta]

--mS-- в сообщении #1539049 писал(а):

Ну или первое, что под руку попалось - Боровков А.А. "Математическая статистика" гл. 5 "Статистика разнораспределенных наблюдений".

Спасибо.
Не-не, дело не в демонизации. Дело в неуверенности, насколько все методы для iid выборок применимы для разнораспределенных. ММП, в частности.

Вдобавок, не слишком понятно, насколько осмысленны в таком случае непараметрические критерии типа хи-квадрат. И опять же, дело не в нем. А в том, что это один из самых распространенных запросов в статистике: проверка гипотезы о распределении ГС. В общем, слишком большая ревизия, надо читать, а не просто допустить применение термина и в такой ситуации. Я про себя говорю. Мне надо.

(Ряд учебников ее категорически запрещает, не говоря, "мы не будем такое рассматривать", а вот именно так - это не выборка, и все тут. Въелось с давних времен.)

Но это мои проблемы.