Помогите понять смысл

[alexey007]

Сейчас попрбоую объяснить, что я хочу понять.
У меня есть вектор состояния $|\Psi>=(a,b,c,d)$. На основе этого вектора состояния я получаю матрицу плостности $\rho=|\Psi><\Psi|$. Далее, я с помощью преобразования поворотов группы $SU(4)$ делаю поворот вектора $|\Psi>$ на произвольный угол $\alpha_{15}$. Поворот делаю вокруг оси номер 15 по обозначениям $SU(4)$ матрицы генераторы можно посмотреть по ссылке http://www.ejtp.com/articles/ejtpv10i28p9.pdf (Формула (3))
$ \lambda_{15}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ \end{array} \right)$ - один из 15 генераторов группы $SU(4)$. Далее, я используя матричное экспаненциирование получаю матрицу поворта $R_{15}=e^{i\alpha_{15}\lambda_{15}}$ вокруг оси $15$. И теперь я могу вращать вектор состояния $|\widetilde{\Psi}>=R_{15}|\Psi>$. Далее, я считатю матрицу плотности $\widetilde{\rho}=|\widetilde{\Psi}><\widetilde{\Psi}|$. И теперь "магия" :))), которую я хочу понять. Матрицы получаются абсолютно равны $\rho = \widetilde{\rho}$, причем вектры $|\Psi>$ и $|\widetilde{\Psi}>$ абсолютно разные, причем при любом угле $\alpha_{15}$, я варьировал от $0$ до $4\pi$. Подскажите почему так получается и есть ли у этого какой то физический и математический смысл. Хочу понять.

[lel0lel]

Может проделать тоже самое для $SU(2)$, выбрав $\sigma_z$. Кстати, генератор у Вас выписан с ошибкой. Заметим, что вектор $|\psi\rangle$ записан в представлении $\lambda_{15}$. Можно найти в явном виде вектор, получающийся после поворота, тогда всё станет очевидно.

[Slav-27]

alexey007 в сообщении #1538913 писал(а):

Матрицы получаются абсолютно равны $\rho = \widetilde{\rho}$, причем вектры $|\Psi>$ и $|\widetilde{\Psi}>$ абсолютно разные

Раз матрицы плотности равны, значит, $|\Psi\rangle$ и $|\widetilde\Psi\rangle$ отличаются на фазу (предполагаем, что они нормированные), потому что $|\Psi\rangle\langle\Psi|$ -- это унитарный проектор на прямую, проходящую через $|\Psi\rangle$. Смысл, видимо, в том, что исходное состояние симметрично относительно соответствующей подгруппы $SU(4)$.

[alexey007]

lel0lel в сообщении #1538918 писал(а):

Можно найти в явном виде вектор, получающийся после поворота, тогда всё станет очевидно.

Не очень понимаю, как это сделать. Ведь матрица поворота, представленна в виде матричной экспоненты, а матричная экспонента это бесконечный ряд, как тогда можно получить явный вид повернутого вектора? Или может как то можно записать матрицу в явном виде?

[lel0lel]

Много способов получить. Можно через ряд, можно спектральное разложение эрмитового оператора использовать. Но в нашем случае матрица диагональная, тогда очевидно, что функция от матрицы $A$ равна диагональной матрице на диагонали которой стоят $f(A_{i,i})$.

[alexey007]

lel0lel в сообщении #1538962 писал(а):

Много способов получить. Можно через ряд, можно спектральное разложение эрмитового оператора использовать. Но в нашем случае матрица диагональная, тогда очевидно, что функция от матрицы $A$ равна диагональной матрице на диагонали которой стоят $f(A_{i,i})$.

Я извиняюсь, но я правда туплю. Вы имеете ввиду это будет равно так $R_{15}=e^{i\alpha_{15}\lambda_{15}}=\sum\frac{(\lambda_{15})^k}{k!}(\alpha_{15})^k=\left( \begin{array}{cccc} e^{i\alpha_{15}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha_{15}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\alpha_{15}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{-3i\alpha_{15}} \\ \end{array} \right)$
Моножитель $\frac{1}{\sqrt{6}}$ поместил в угол $\alpha_{15}$

Правильно? Если да, то можно теперь подействовать на вектор состояния

$|\Psi>=(a,b,c,d)$, $|\widetilde{\Psi}>=R_{15}|\Psi>$, $|\widetilde{\Psi}>=(ae^{i\alpha_{15}},be^{i\alpha_{15}},ce^{i\alpha_{15}},de^{-3i\alpha_{15}})$

$\rho=|\Psi><\Psi|=\left( \begin{array}{cccc} |a|^2 & ab^* & ac^* & ad^* \\ a^*b & |b|^2 & c^*b & d^*b \\ a^*c & b^*c & |c|^2 & d^*c \\ a^*d & b^*d & c^*d & |d|^2 \\ \end{array} \right)$

$\rho=|\widetilde{\Psi}><\widetilde{\Psi}|=\left( \begin{array}{cccc} |a|^2 & ab^* & ac^* & ad^*e^{4i\alpha_{15}} \\ a^*b & |b|^2 & c^*b & d^*be^{4i\alpha_{15}} \\ a^*c & b^*c & |c|^2 & d^*ce^{4i\alpha_{15}} \\ a^*de^{-4i\alpha_{15}} & b^*de^{-4i\alpha_{15}} & c^*de^{-4i\alpha_{15}} & |d|^2 \\ \end{array} \right)$

Вроде так. Но как теперь убрать экспоненту, пока не понимаю. Если я конечно все правильно сделал.

[lel0lel]

Похоже на правду, а почему Вы решили, что матрица плотности не меняется при поворотах? Стоит проверить выкладки, тем более не понятно как Вы считали до этого наиболее прямолинейного способа.

[alexey007]

lel0lel в сообщении #1539064 писал(а):

Похоже на правду, а почему Вы решили, что матрица плотности не меняется при поворотах? Стоит проверить выкладки, тем более не понятно как Вы считали до этого наиболее прямолинейного способа.

У меня считает код. Буду разбираться в коде теперь

[lel0lel]

Советую отладить сначала код на $SU(2)$.

[alexey007]

Нашел ошибку в коде. Когда получается финальная матрица поворота вокруг всех осей $R=R_1\cdotR_2+...R_{15}$ Далее эта матрица действет на вектор, чтобы повернуть $\widetilde{V}=R\cdot{V}$. Так вот эту матрицу надо транспонировать, тогда она дает правильный результат, который получается теоретически. И тогда матрицы плотности получаются разные и вращая вектора вокруг любой оси при фиксированных остальных, матрицы плотности всегда меняются.

[lel0lel]

Вот и хорошо. Помните задачку про спинор: на какой угол нужно повернуть систему координат, чтобы спинор не изменился.