Откуда возник определитель?

[kmpl]

lel0lel в сообщении #1538571 писал(а):

Выглядит более удачным определять детерминант как антисимметричное полилинейное отображение, для которого $\det E=1$, и только потом рассказывать про объём параллелепипеда.

А ещё лучше как полилинейный индикатор линейной зависимости, нормированный единицей.

[Slav-27]

Mikhail_K в сообщении #1538564 писал(а):

А какую книгу / какие книги посоветовали бы Вы тем, кто заинтересовался?

Не знаю, может быть, "Алгебру" Городенцева, по крайней мере она новая и там много хорошего, хотя есть и странное (и слишком длинная, по-моему). Короткого изложения именно этого вопроса я нигде не нашёл, может, кто-то ещё подскажет.

lel0lel в сообщении #1538571 писал(а):

Выглядит более удачным определять детерминант как антисимметричное полилинейное отображение, для которого $\det E=1$.

Я тоже так думаю. Впрочем, почти с этого я и начал, три свойства 1) умножение на $k$ при замене столбца $u$ на $ku$, 2) неизменность при замене столбцов $u,v$ на $u,v+ku$, 3) $\det E=1$, как несложно проверить, равноценны трём свойствам 1) линейность по столбцам, 2) антисимметричность, 3) $\det E=1$.

[Sinoid]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1538402 писал(а):

Например существенная часть "школьной" геометрии очень красиво формулируется на языке линейной алгебры.

Интересно было бы глянуть книги по этому вопросу. Никто не подскажет?

[мат-ламер]

Может кого заинтересует:
https://dxdy.ru/topic98496.html
https://dxdy.ru/topic24359.html

[D'Amir]

На мой взгляд, в замечательном учебнике Куроша очень хорошо рассказывается про определитель, надо только прочитать всю главу, относящуюся к этой теме, целиком. Он начинает с естественных, знакомых вещей - системы двух уравнений с двумя неизвестными. Такие системы любой школьник решал не один раз. Из практического опыта решения систем школьник знает, что какие-то системы решаются, какие-то нет. Но может тут есть какое-то общее правило? А что если решить ту же систему из двух уравнений с двумя неизвестными, но уже с произвольными "буквенными" коэффициентами? Рассмотрели и увидели, что там приходится делить на какое-то выражение. (А что если выражение равно нулю?) Дальше вводится определитель просто как более компактная форма записи этого знаменателя. Те же действия проделываем с системой трёх уравнений с тремя неизвестными. И там возникает знаменатель. Посмотрев на эти знаменатели-определители внимательно, мы видим, что есть определённые законы, по которым их можно построить. А что если попробовать обобщить эти законы? Пока без привязки к системам.
Тут, конечно, приходится немного отойти в сторону и заняться комбинаторикой. Но ненадолго. Мы строим правило вычисления некоторого выражения, которое называем определителем n-го порядка. А потом уже в учебнике показывается, что это выражение точно так же связывается с системами линейных уравнений, как и в рассмотренных в самом начале простейших случаях. Круг замкнулся.

Наверное, математикам и можно рассказывать про определитель как-то по-другому. Но всем другим, как мне кажется, легче воспринимать это так, как изложено в учебнике Куроша. Первокурсник и так запуган, ему надо на что-то опереться. А опереться он может только на школьную программу. Когда ты начинаешь объяснение с простых вещей (даже не с системы двух уравнений с двумя неизвестными, а с одного уравнения $ax = b$), которые ему знакомы, а потом выходишь на какие-то маленькие обобщения, постепенно дополняешь, расширяешь, кладёшь слой за слоем этой, в принципе, простой математики, студент не хватается за голову на первом же занятии. Иногда курс алгебры начинают вообще не с систем, а с понятия кольца и поля. По моим ощущениям, это гораздо сложнее воспринимается первокурсниками.