Откуда возник определитель?

[EUgeneUS]

Anton_Peplov в сообщении #1538416 писал(а):

что числовая прямая/координатная плоскость - простейший пример одномерного/двумерного евклидова (и вообще линейного) пространства.

В чем у меня ошибка (и у Вас): евклидово пространство - это аффинное пространство. Но это более сложная структура, чем линейное пространство.

[Mikhail_K]

EUgeneUS в сообщении #1538418 писал(а):

В чем у меня ошибка (и у Вас): евклидово пространство - это аффинное пространство.

Зависит от терминологии. Вообще, бывают евклидовы векторные пространства (они линейные) и евклидовы точечные (они аффинные). Для простоты и те и другие часто называют просто евклидовыми.

Например, в функциональном анализе евклидово пространство практически всегда понимается как векторное, а не как точечное.

EUgeneUS в сообщении #1538418 писал(а):

Но это более сложная структура, чем линейное пространство.

Это верно - вне зависимости от предыдущего предложения.

[Anton_Peplov]

EUgeneUS в сообщении #1538418 писал(а):

В чем у меня ошибка (и у Вас): евклидово пространство - это аффинное пространство. Но это более сложная структура, чем линейное пространство.

Линейные пространства со скалярным произведением (иногда лишь с положительно определенным скалярным произведением) также называются евклидовыми. См., например, учебники по линейной алгебре Кострикина или Ильина и Позняка.

[worm2]

EUgeneUS в сообщении #1538413 писал(а):

Хммм. Пространство, даже Евклидово, не предполагает, что на нём введена система координат. Нет?

Это, конечно, так, идея независимости вектора от базиса очень важна, но чтобы не сбить новичка с толка, я думаю, можно об этом не говорить с самого начала, а считать, что стандартный ортонормированный базис уже идёт "в комплекте" с пространством.

[Евгений Машеров]

Для чего ввели определитель? Чтобы определять!

(Оффтоп)

А что у вас тут делает стабилизатор?! - Стабилизирует!
(СТЭМовская реприза про нерадивого студента, сдающего курсовой проект)

Определять, есть ли решение у системы линейных уравнений. Если решение выписать в виде явного отношения, то выражение в знаменателе, равное нулю, позволяет определить, что решения-то нет (при ненулевых свободных членах). Идея эта, видимо, довольно естественна, поскольку независимо родилась в Китае, в Европе и в Японии. Но речь шла о матрицах 2х2, и попытались обобщить на большие размерности. Получили ещё обозримую формулу для 3х3 (и простой приём вычисления, с приписыванием столбцов), а дальше начинался ужас. Но достаточно организованный ужас, поскольку структура слагаемых была однообразна - произведения элементов разных строк и столбцов, причём рассматривались все перестановки, а знак произведения зависел от типа перестановки. И с этого момента определитель стал рассматриваться не как инструмент для решения систем уравнений, число слагаемых росло как факториал размерности.

(Оффтоп)

"4:4. (Вот) каким образом Он сложил их:
два камня строят два дома;
три (камня) строят шесть домов;
четыре (камня) строят двадцать четыре дома;
пять (камней) строят сто двадцать домов;
шесть (камней) строят семьсот двадцать домов;
семь (камней) строят пять тысяч сорок (домов).
Отсюда и далее исходи и сосчитай то, что рот не может вымолвить, и то, что ухо не может услышать".
(каббалистический трактат "Сефер Йецира")

а как самостоятельный объект. Но вырос всё же из системы линейных уравнений. Для собственно решения системы непригодный, но всё же позволяющий делать некоторые выводы не решая (скажем, при решении транспортной задачи линейного программирования определитель по абсолютной величине равен единице, из чего можно сделать вывод, что решение будет целочисленным).

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1538445 писал(а):

Если решение выписать в виде явного отношения, то выражение в знаменателе, равное нулю, позволяет определить, что решения-то нет (при ненулевых свободных членах).

Дополню на всякий случай: либо решений много (более одного). Иными словами, решение не единственно, когда оно есть.

[Евгений Машеров]

Ну, для действительных чисел неединственность может быть только при нулевом векторе свободных членов.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1538455 писал(а):

для действительных чисел неединственность может быть только при нулевом векторе свободных членов

Нет, неединственность может быть даже тогда, когда вектор свободных членов ненулевой. Пример: система из двух уравнений $x+y=1$, $2x+2y=2$.

[Евгений Машеров]

Да, сорри... Недоглядел.

[Slav-27]

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

А дальше вижу, что автор связал эти выражения с матрицей из коэффициентов - ну ок, допустим, хотя и не очень очевидный переход. Потом построили такие же записи для системы из трёх уравнений, а потом внезапно перешли к подстановкам, а про системы вообще забыли. Почему к подстановкам, зачем к подстановкам - вообще неясно из предыдущего рассказа.

А какие там подстановки? Если вы имеете в виду выражение "сумма по всем перестановкам", то к нему переходить совершенно не обязательно (до тех пор, пока не надо посчитать что-то конкретное); но в любом случае оно следует из характеризации объёма 3 свойствами, которую я написал во 2-м посте темы (сумма по перестановкам там появляется потому, что объём параллелепипеда не меняется от перенумерации сторон).

По-моему, проще всего думать про определитель как про ориентированный объём, или как про действие на старшей внешней степени, это примерно одно и тоже. Например, формулы Крамера я доказываю так (Daggett, это предназначено не для того, чтобы вы сразу поняли, а чтобы заинтересовались). Пусть $V$ -- $n$-мерное вещественное векторное пространство. Билинейное спаривание $\Lambda^kV\times\Lambda^{n-k}V\xrightarrow{\wedge}\Lambda^nV$ невырождено. Поэтому оно определяет биекцию между линейными операторами на $\Lambda^kV$ и $\Lambda^{n-k}V$: линейному оператору $B$ на $\Lambda^kV$ соответствует $B^\dagger$ на $\Lambda^{n-k}V$, определяемый равенством $Bv\,\wedge\, w=v\,\wedge\,B^\dagger w$. Пусть $A$ -- линейный оператор на $V$. Обозначим $A^\vee:=(\Lambda^{n-1}A)^\dagger$ (это тоже линейный оператор на $V$).
Утверждение. $A^\vee A=\mathrm{det} A\;1$ (здесь $1$ означает тождественный оператор на $V$).
Доказательство: $(A^\vee Av)\;\wedge\;w=Av\;\wedge\;((\Lambda^{n-1}A)w)=(\Lambda^nA)(v\wedge w)=\mathrm{det} A\;v\wedge w$.

Следствие. Если $\det A\ne 0$, то $A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^\vee$. Это и есть формулы Крамера. (Точнее говоря, они получаются выбором базиса $V$ и расписыванием этого равенства в соответствующих координатах.)

-- 10.11.2021, 22:30 --

Книга, которую вы читаете, старая, поэтому доказательства и наводящие соображения там неоптимальные (хотя и в новых книгах они тоже обычно неоптимальные).

-- 10.11.2021, 22:33 --

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

Вот, например, когда я читал про предел последовательности, там всё логично и понятно,

Между прочим, додуматься до определения предела исторически было гораздо сложнее, чем до определителей (например, Эйлер не мог, и его труды по анализу получили строгое обоснование веком позже).

-- 10.11.2021, 22:36 --

worm2 в сообщении #1538408 писал(а):

Векторное произведение существует только в трёхмерном пространстве

В 7-мерном ещё. (А смешанное, по-моему, там же, где и векторное.)

[мат-ламер]

Slav-27 в сообщении #1538549 писал(а):

Книга, которую вы читаете, старая, поэтому доказательства и наводящие соображения там неоптимальные (хотя и в новых книгах они тоже часто неоптимальные).

Я бы не сказал, что книга устарела. Всё о чём он пишет, изложено нормально и понятным языком. Другое дело, что многих вещей не хватает. А на некоторые вещи можно и полезно и с другой стороны посмотреть. Чисто для первоначального знакомства с предметом вполне нормальная книга. Хотя, наверное, для первоначального знакомства можно и другие книги взять. Не берусь судить.

-- Ср ноя 10, 2021 23:02:25 --

Slav-27 в сообщении #1538549 писал(а):

Проще всего думать про определитель как про ориентированный объём,

Я, например, всегда про определитель думал как про определитель (по Курошу). А то, что он может задавать объём, это вторично. Также и то, что он может и не задавать объём, а, например, задавать коэффициент изменения объёма, или определять, сколько решений у линейной системы, или определять, будут ли линейно зависимы какие-то объекты и т.п.. Но это сугубо моё личное ИМХО.

[Slav-27]

мат-ламер в сообщении #1538556 писал(а):

Я бы не сказал, что книга устарела.

А я не говорю, что она устарела, я говорю, что она старая.

-- 10.11.2021, 23:04 --

Я дописал там "по-моему"; спасибо.

[мат-ламер]

Slav-27 в сообщении #1538557 писал(а):

А я не говорю, что она устарела, я говорю, что она старая.

А я и не пытаюсь с вами спорить. Просто высказал своё мнение по поводу книги.

Высказался просто для топик-стартера. Если он читает Куроша и хорошо заходит, то пусть продолжает читать. Другое дело, что заходит не очень хорошо. Но с другими книгами будут те же проблемы. Может Босса следует почитать и там он найдёт какие-то мотивировки?

[Mikhail_K]

Slav-27 в сообщении #1538549 писал(а):

это предназначено не для того, чтобы вы сразу поняли, а чтобы заинтересовались

Slav-27 в сообщении #1538549 писал(а):

Книга, которую вы читаете, старая

А какую книгу / какие книги посоветовали бы Вы тем, кто заинтересовался?

[lel0lel]

Выглядит более удачным определять детерминант как антисимметричное полилинейное отображение, для которого $\det E=1$, и только потом рассказывать про объём параллелепипеда. В этом случае сохраняется общность и возможность обобщений.