Верхнетреугольные матрицы

[Chandrasekhar]

Дана верхнетреугольная квадратная матрица $A$, с заданными числами, находящимися выше диагонали. Какие числа должны быть на диагонали чтобы выполнялось равенство $A^{2021}=A$?

Предполагаю, что для многих степеней возможен такой вариант, когда матрица будет равна сама себе в какой-то степени, при данных условиях (подбирая элементы на диагонали как нам это удобно). Еще можно заметить что на диагонали будут $a^{2021}_{ii}$ и должны они равняться $a_{ii}$, тогда нужно рассмотреть все первообразные корни из 2020 или 0. Но не понятно как ведут себя другие элементы при возведении в степень.

[mihiv]

Из какого числа извлекаются корни ? И почему вы хотите учитывать только первообразные корни?

[Chandrasekhar]

mihiv в сообщении #1538110 писал(а):

Из какого числа извлекаются корни ? И почему вы хотите учитывать только первообразные корни?

Вы имеете ввиду про плюс и минус 1? Да, я возможно неправильно выразился. Даже с учетом плюс и минус единичек мне не понятно поведение элементов при возведении в степень у подобной матрицы. Для матрицы 2x2 была видна закономерность, но потом стало сложнее. Возможно идея решения подобной задачи вообще в другом....

[Евгений Машеров]

Собственные значения треугольной матрицы совпадают с её диагональными элементами.

[mihiv]

Я имею в виду эту строчку:

Chandrasekhar в сообщении #1538088 писал(а):

все первообразные корни из 2020

[Chandrasekhar]

mihiv в сообщении #1538117 писал(а):

Я имею в виду эту строчку:

Chandrasekhar в сообщении #1538088 писал(а):

все первообразные корни из 2020

Да, не только первообразные корни. Должно выполняться равенство $a^{2021}_{ii}=a_{ii}$ Значит либо $a_{ii}=0$, либо $a^{2020}_{ii}=1$.

-- 07.11.2021, 19:46 --

Евгений Машеров в сообщении #1538116 писал(а):

Собственные значения треугольной матрицы совпадают с её диагональными элементами.

Равенство собственных значений говорит о том что матрицы подобны, но, на сколько я понимаю, не говорит равенстве.

[zykov]

Chandrasekhar в сообщении #1538088 писал(а):

Какие числа должны быть на диагонали чтобы выполнялось равенство

Не ясно в чём вопрос. Хватит ли найти необходимое условие или нужна гарантия?
Например для матриц 2x2, матрица

$$\begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

никогда не будет равна своей степени выше 1, если $a \neq 0$.
А матрица

$$\begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

или

$$\begin{pmatrix} 0 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

равна любой своей степени.

[artempalkin]

Chandrasekhar в сообщении #1538118 писал(а):

Равенство собственных значений говорит о том что матрицы подобны, но, на сколько я понимаю, не говорит равенстве.

Не говорит о подобии в том числе (рассмотрите $E$ и $\begin{bmatrix}1& 1\\0& 1 \end{bmatrix}$)

[nnosipov]

Chandrasekhar в сообщении #1538118 писал(а):

Равенство собственных значений говорит о том что матрицы подобны

Не говорит.

[Chandrasekhar]

zykov в сообщении #1538120 писал(а):

Chandrasekhar в сообщении #1538088 писал(а):

Какие числа должны быть на диагонали чтобы выполнялось равенство

Не ясно в чём вопрос. Хватит ли найти необходимое условие или нужна гарантия?
Например для матриц 2x2, матрица

$$\begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

никогда не будет равна своей степени выше 1, если $a \neq 0$.
А матрица

$$\begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

или

$$\begin{pmatrix} 0 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

равна любой своей степени.

Нужно показать, что всегда можно расположить числа на диагонали так, чтобы выполнялось равенство. Т.е. регулируем диагональ мы сами, а то что выше её уже зафиксировано.

[artempalkin]

Chandrasekhar в сообщении #1538118 писал(а):

Должно выполняться равенство $a^{2021}_{ii}=a_{ii}$ Значит либо $a_{ii}=0$, либо $a^{2020}_{ii}=1$.

А других условий вы не получите, это самое сильное.

[Евгений Машеров]

Chandrasekhar в сообщении #1538118 писал(а):

Должно выполняться равенство $a^{2021}_{ii}=a_{ii}$ Значит либо $a_{ii}=0$, либо $a^{2020}_{ii}=1$.

Ещё одно значение пропустили...

[artempalkin]

Chandrasekhar в сообщении #1538124 писал(а):

Нужно показать, что всегда можно расположить числа на диагонали так, чтобы выполнялось равенство. Т.е. регулируем диагональ мы сами, а то что выше её уже зафиксировано.

Ооо, ну это вряд ли, тем более если сами числа не даны.

[Chandrasekhar]

Евгений Машеров в сообщении #1538126 писал(а):

Chandrasekhar в сообщении #1538118 писал(а):

Должно выполняться равенство $a^{2021}_{ii}=a_{ii}$ Значит либо $a_{ii}=0$, либо $a^{2020}_{ii}=1$.

Ещё одно значение пропустили...

Вы о равенстве определителей $(a_{11} \cdot a_{22} \cdot ... \cdot a_{nn})^{2021}=a_{11} \cdot a_{22} \cdot ... \cdot a_{nn}$? Хотя кажется вряд ли...

-- 07.11.2021, 20:28 --

artempalkin в сообщении #1538122 писал(а):

Chandrasekhar в сообщении #1538118 писал(а):

Равенство собственных значений говорит о том что матрицы подобны, но, на сколько я понимаю, не говорит равенстве.

Не говорит о подобии в том числе (рассмотрите $E$ и $\begin{bmatrix}1& 1\\0& 1 \end{bmatrix}$)

Если матрицы подобны, то их собственные значения равны. Но все еще не понятно, как равенство собственных значений связано с равенством матриц.

-- 07.11.2021, 20:31 --

artempalkin в сообщении #1538128 писал(а):

Chandrasekhar в сообщении #1538124 писал(а):

Нужно показать, что всегда можно расположить числа на диагонали так, чтобы выполнялось равенство. Т.е. регулируем диагональ мы сами, а то что выше её уже зафиксировано.

Ооо, ну это вряд ли, тем более если сами числа не даны.

Изначально постановка задачи была не на много легче, как мне кажется. Была дана матрица 5x5 и написаны рандомные (по типу различных трансцендентных) числа. Стало понятно, что от чисел ничего не зависит. Да и вряд ли порядок матрицы сильно принципиален. Поэтому я захотел понять, как это работает в общем виде.

[zykov]

Chandrasekhar в сообщении #1538131 писал(а):

Была дана матрица 5x5 и написаны рандомные (по типу различных трансцендентных) числа

Покажите её здесь.