2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение06.11.2021, 16:36 


24/06/21
49
В цепь электрического контура входит сопротивление $R$ и незаряженный конденсатор
емкости $C$. Докажите, что заряд на конденсаторе в процессе появления, а затем исчезновения магнитного
потока через контур не превышает величины $\frac{\Phi T}{C R^2}$, где $T$ — время существования этого магнитного потока, $\Phi$ — его максимальное значение.
Пытался решить математически: написал уравнение второго правила Кирхгофа для контура в некоторый момент времени: $\frac{d\Phi}{dt} = I R + \frac q C$ . Если его проинтегрировать, то получим $\Phi = q R + \frac{1}{C} \int\limits_{0}^{t} q(t)dt$ . Последний интеграл можно оценить как $q t - 0 t = q t$, но это не приводит к правильному ответу. Тут, как я понимаю, нужно разобраться в том, как меняется заряд при включении и выключении поля: поначалу по-любому возрастает, затем (если поле ещё растёт) может наступить момент, когда ЭДС индукции меньше напряжения на конденсаторе, и заряд начнёт убывать, а потом может опять ЭДС превысить напряжение на конденсаторе и т.д. При выключении потока заряд сначала по-любому убывает, но потом всё опять сложно. Как я вижу, тут нужен грамотный учёт всего этого, который позволит найти состояние контура при максимальном заряде, затем для этого случая записать второе правило Кирхгофа, что-то там приблизить и получить искомую оценку.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.11.2021, 17:10 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- если задача размещена в олимпиадном разделе не по ошибке, вы знаете, как она решается, и хотите предложить ее для решения участникам форума, пришлите решение в ЛС модератору.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.11.2021, 19:06 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение06.11.2021, 19:31 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Тут $I=\dot q$.
Вот рассмотрим такой дифур $y'(x)+a y(x) = f(x)$.
Если $y(0)=0$ и $f(x)=0$ при $x<0$, то его решение $y(x) = \int_0^x e^{a(\tau - x)} f(\tau) d\tau$.
Сюда можно подставить величины из исходного, взять по частям и составить неравенство.

$a=\frac{1}{RC}$, $f=\frac{1}{R}\dot\Phi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение06.11.2021, 21:46 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
intex2dx в сообщении #1537952 писал(а):
не превышает величины $\frac{\Phi T}{C R^2}$,
Что-то я сомневаюсь в этой формуле.
Если время $T$ мало, то заряд просто будет $\frac{\Phi}{R}$. Нет причин быть ему маленьким.
С другой стороны если $\Phi$ ограничен, то заряд не будет расти до бесконечности, если время большое. Разрядка через $R$ не даст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 12:37 
Аватара пользователя


11/12/16
13834
уездный город Н
zykov в сообщении #1538004 писал(а):
Что-то я сомневаюсь в этой формуле.


Продолжим рассмотрение из стартового поста.

intex2dx в сообщении #1537952 писал(а):
$\Phi = q R + \frac{1}{C} \int\limits_{0}^{t} q(t)dt$


Если интеграл положителен, то получается вот эта оценка:
zykov в сообщении #1538004 писал(а):
то заряд просто будет $\frac{\Phi}{R}$.

если его считать малым (даже понятно, как его сделать малым)
Однако, кто нам сказал, что этот интеграл положителен?
$ \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} q(t)dt$ - средний заряд конденсатора, с чего бы ему быть обязательно положительным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 13:00 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
$\frac{\Phi T}{C R^2}=\frac{\Phi}{R}\cdot \frac{T}{C R}=q_0\cdot \frac{T}{\tau}$, где $\tau=RC$ - характерное время разрядки конденсатора через это сопротивление.
Т.е. по этой формуле, если $T \ll \tau$, то и заряд много меньше $q_0$.
Вот представим, что за короткое время $T \ll \tau$ поток быстро увеличился от $0$ до $\Phi$. Напряжение было большое, ток был большой, заряд был пока маленький и напряжение на конденсаторе маленькое, значит его можно не учитывать. Значит заряд будет просто $q_0$ - нет причин ему быть маленьким.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 13:04 


27/08/16
10172
zykov в сообщении #1538036 писал(а):
ток был большой
ОК, без расчётов - так без расчётов.

ЭДС включена последовательно с $RC$-цепочкой, импульс напряжения короткий, фильтр, конденсатор заметно зарядиться не успевает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 13:13 
Аватара пользователя


11/12/16
13834
уездный город Н
zykov
Это так.
Однако, в условиях задачи нет никакого ограничения на время процесса и на форму графика $\Phi(t)$, только на максимальное значение потока в этом процессе (по модулю, видимо).

Да, при $T \ll \tau$, и при данной форме изменения потока, мы не можем превысить $\frac{\Phi(T)}{R}$, но это искусственное ограничение, которого нет в условиях.

-- 07.11.2021, 13:13 --

realeugene в сообщении #1538038 писал(а):
ЭДС включена последовательно с $RC$-цепочкой, импульс напряжения короткий, фильтр, конденсатор заметно зарядиться не успевает.


Там ЭДС бесконечная возникает, и конденсатор заряжается конечным зарядом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 13:14 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Ток $\frac{\dot \Phi}{R}$, заряд $\frac{\dot \Phi T}{R}$, напряжение на конденсаторе $\frac{\dot \Phi T}{RC}=\dot \Phi \frac{T}{\tau}$. А полное напряжение $\dot \Phi$, что гораздо больше.

А для больших $T$ тоже $q_0 \frac{T}{\tau}$ тоже неограниченно растёт по $T$.
В то время как ток будет меньше $\frac{\dot \Phi}{R}$ из-за напряжение на конденсаторе, значит и заряд меньше $q_0$, значит неограниченно расти не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 13:14 


27/08/16
10172
zykov
Вы правы. $\Phi$ меняется по треугольнику, нарастает за $T/2$. Эдс $\mathcal{E}=\frac {2\Phi}T$, ток $\frac {2\Phi}{RT}$ и максимальный заряд $\frac {\Phi}{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Это задача 11.2.10,а из вроде бы хорошего задачника Савченко (Задачи по физике, 2008, стр.226).

Изображение

Upd: в ответах не содержится дополнительной информации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 13:51 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Что-то тут напутанно.
Если время большое и поток медленно нарастает, то наоборот заряд будет маленький (из-за разрядки). И уж не будет этот заряд расти с $T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 13:59 


27/08/16
10172
zykov в сообщении #1538047 писал(а):
Что-то тут напутанно.
Зато размерности совпадают :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе
Сообщение07.11.2021, 14:00 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Может имеется ввиду заряд не в любое время, а именно после того как поле пропало. Хотя фраза "заряд на конденсаторе в процессе" противоречит этому.
И время имеется ввиду малое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group