Электромагнетизм, оценить максимальный заряд на конденсаторе

[intex2dx]

В цепь электрического контура входит сопротивление $R$ и незаряженный конденсатор
емкости $C$. Докажите, что заряд на конденсаторе в процессе появления, а затем исчезновения магнитного
потока через контур не превышает величины $\frac{\Phi T}{C R^2}$, где $T$ — время существования этого магнитного потока, $\Phi$ — его максимальное значение.
Пытался решить математически: написал уравнение второго правила Кирхгофа для контура в некоторый момент времени: $\frac{d\Phi}{dt} = I R + \frac q C$ . Если его проинтегрировать, то получим $\Phi = q R + \frac{1}{C} \int\limits_{0}^{t} q(t)dt$ . Последний интеграл можно оценить как $q t - 0 t = q t$, но это не приводит к правильному ответу. Тут, как я понимаю, нужно разобраться в том, как меняется заряд при включении и выключении поля: поначалу по-любому возрастает, затем (если поле ещё растёт) может наступить момент, когда ЭДС индукции меньше напряжения на конденсаторе, и заряд начнёт убывать, а потом может опять ЭДС превысить напряжение на конденсаторе и т.д. При выключении потока заряд сначала по-любому убывает, но потом всё опять сложно. Как я вижу, тут нужен грамотный учёт всего этого, который позволит найти состояние контура при максимальном заряде, затем для этого случая записать второе правило Кирхгофа, что-то там приблизить и получить искомую оценку.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- если задача размещена в олимпиадном разделе не по ошибке, вы знаете, как она решается, и хотите предложить ее для решения участникам форума, пришлите решение в ЛС модератору.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[zykov]

Тут $I=\dot q$.
Вот рассмотрим такой дифур $y'(x)+a y(x) = f(x)$.
Если $y(0)=0$ и $f(x)=0$ при $x<0$, то его решение $y(x) = \int_0^x e^{a(\tau - x)} f(\tau) d\tau$.
Сюда можно подставить величины из исходного, взять по частям и составить неравенство.

$a=\frac{1}{RC}$, $f=\frac{1}{R}\dot\Phi$

[zykov]

intex2dx в сообщении #1537952 писал(а):

не превышает величины $\frac{\Phi T}{C R^2}$,

Что-то я сомневаюсь в этой формуле.
Если время $T$ мало, то заряд просто будет $\frac{\Phi}{R}$. Нет причин быть ему маленьким.
С другой стороны если $\Phi$ ограничен, то заряд не будет расти до бесконечности, если время большое. Разрядка через $R$ не даст.

[EUgeneUS]

zykov в сообщении #1538004 писал(а):

Что-то я сомневаюсь в этой формуле.

Продолжим рассмотрение из стартового поста.

intex2dx в сообщении #1537952 писал(а):

$\Phi = q R + \frac{1}{C} \int\limits_{0}^{t} q(t)dt$

Если интеграл положителен, то получается вот эта оценка:

zykov в сообщении #1538004 писал(а):

то заряд просто будет $\frac{\Phi}{R}$.

если его считать малым (даже понятно, как его сделать малым)
Однако, кто нам сказал, что этот интеграл положителен?
$ \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} q(t)dt$ - средний заряд конденсатора, с чего бы ему быть обязательно положительным?

[zykov]

$\frac{\Phi T}{C R^2}=\frac{\Phi}{R}\cdot \frac{T}{C R}=q_0\cdot \frac{T}{\tau}$, где $\tau=RC$ - характерное время разрядки конденсатора через это сопротивление.
Т.е. по этой формуле, если $T \ll \tau$, то и заряд много меньше $q_0$.
Вот представим, что за короткое время $T \ll \tau$ поток быстро увеличился от $0$ до $\Phi$. Напряжение было большое, ток был большой, заряд был пока маленький и напряжение на конденсаторе маленькое, значит его можно не учитывать. Значит заряд будет просто $q_0$ - нет причин ему быть маленьким.

[realeugene]

zykov в сообщении #1538036 писал(а):

ток был большой

ОК, без расчётов - так без расчётов.

ЭДС включена последовательно с $RC$-цепочкой, импульс напряжения короткий, фильтр, конденсатор заметно зарядиться не успевает.

[EUgeneUS]

zykov
Это так.
Однако, в условиях задачи нет никакого ограничения на время процесса и на форму графика $\Phi(t)$, только на максимальное значение потока в этом процессе (по модулю, видимо).

Да, при $T \ll \tau$, и при данной форме изменения потока, мы не можем превысить $\frac{\Phi(T)}{R}$, но это искусственное ограничение, которого нет в условиях.

-- 07.11.2021, 13:13 --

realeugene в сообщении #1538038 писал(а):

ЭДС включена последовательно с $RC$-цепочкой, импульс напряжения короткий, фильтр, конденсатор заметно зарядиться не успевает.

Там ЭДС бесконечная возникает, и конденсатор заряжается конечным зарядом.

[zykov]

Ток $\frac{\dot \Phi}{R}$, заряд $\frac{\dot \Phi T}{R}$, напряжение на конденсаторе $\frac{\dot \Phi T}{RC}=\dot \Phi \frac{T}{\tau}$. А полное напряжение $\dot \Phi$, что гораздо больше.

А для больших $T$ тоже $q_0 \frac{T}{\tau}$ тоже неограниченно растёт по $T$.
В то время как ток будет меньше $\frac{\dot \Phi}{R}$ из-за напряжение на конденсаторе, значит и заряд меньше $q_0$, значит неограниченно расти не будет.

[realeugene]

zykov
Вы правы. $\Phi$ меняется по треугольнику, нарастает за $T/2$. Эдс $\mathcal{E}=\frac {2\Phi}T$, ток $\frac {2\Phi}{RT}$ и максимальный заряд $\frac {\Phi}{R}$.

[svv]

Это задача 11.2.10,а из вроде бы хорошего задачника Савченко (Задачи по физике, 2008, стр.226).



Upd: в ответах не содержится дополнительной информации.

[zykov]

Что-то тут напутанно.
Если время большое и поток медленно нарастает, то наоборот заряд будет маленький (из-за разрядки). И уж не будет этот заряд расти с $T$.

[realeugene]

zykov в сообщении #1538047 писал(а):

Что-то тут напутанно.

Зато размерности совпадают

[zykov]

Может имеется ввиду заряд не в любое время, а именно после того как поле пропало. Хотя фраза "заряд на конденсаторе в процессе" противоречит этому.
И время имеется ввиду малое.