Функции ограниченной вариации

[meshok]

Доброго времени суток.
В одном видео в интернете видел такое утверждение:
$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant h,\forall h \in \mathbb{R}.$
В стандартных учебниках по теории функции вещественной переменной, на вроде Ульянов, Бахвалов; Натансон; Очан, такого утверждения не нашел.
Может быть есть какая-нибудь книжка по теории функций вещественной переменной, в которой можно найти это и еще много других утверждений про стандартные классы функций, на вроде $C(\Omega), AC(\Omega),BV(\Omega),L^p(\Omega), Lip_\alpha(\Omega)$?

[мат-ламер]

meshok в сообщении #1537886 писал(а):

$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant h,\forall h \in \mathbb{R}.$

Это неверно. Попробуйте контрпример построить.

[meshok]

мат-ламер в сообщении #1537889 писал(а):

meshok в сообщении #1537886 писал(а):

$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant h,\forall h \in \mathbb{R}.$

Это неверно. Попробуйте контрпример построить.

Да, это я по невнимательности в правой части неравенства умножение на константу пропустил, и $h$ должно быть положительным.

[мат-ламер]

meshok в сообщении #1537947 писал(а):

Да, это я по невнимательности в правой части неравенства умножение на константу пропустил, и $h$ должно быть положительным.

1. Проверьте ваше неравенство для функции $f(x)=x$ .
2. Может ещё какую-нибудь опечатку в нём найдёте?
3. Попробуйте решить упражнение 5.8.70 из книги В.И. Богачёв "Основы теории меры". Там есть указания на счёт решения.
4. Посмотрите в этой книге информацию по интересующим пространствам.

[meshok]

2. Как кажется, больше опечаток нет
$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant Ch,\forall h>0.$
1. Функция $f(x)=x$ не является же функцией ограниченной вариации $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx=\infty.$
За литературу спасибо. На том видео, которое я смотрел, вроде бы, Богачев В.И. и выступал. Он между делом сказал, что такое описание класса $BV$ еще сто лет назад знали, но, конечно, я мог неправильно понять.

[мат-ламер]

meshok в сообщении #1537967 писал(а):

Функция $f(x)=x$ не является же функцией ограниченной вариации

Извиняюсь. Я упустил, что у нас функции из класса

meshok в сообщении #1537967 писал(а):

$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$

Когда учил этот предмет по Колмогорову-Фомину, то там функции ограниченной вариации задаются на отрезке. То же самое касается книги Дьяченко и Ульянова. Поэтому мне показалось странным. что интеграл берётся по всей действительной прямой. Тогда опечаток нет.

[Padawan]

meshok в сообщении #1537967 писал(а):

$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant Ch,\forall h>0.$

Пусть $f\in BV(\mathbb R)$. Исправим значения функции $f$ в точках разрыва таким образом, чтобы она стала непрерывной слева. Так как мы изменим значение $f$ не более, чем в счётном множестве точек, на интеграл это не повлияет. Введем меру $\mu$, связанную с $f$: $\mu([a,b))=f(b)-f(a)$ для всех $a,b\in\mathbb R$, $a<b$. Пусть $|\mu|$ -- полная вариация меры $\mu$. Тогда, используя теорему Фубини,

$$ \int\limits_{\mathbb R} |f(x+h)-f(x)|dx\leqslant\int\limits_\mathbb Rdx\int\limits_{[x,x+h)}d|\mu|(y)=\int\limits_\mathbb R d|\mu|(y)\int\limits_{y-h}^y dx=|\mu|(\mathbb R)h. $$

Таким образом, в качестве константы $C$ подойдёт полная вариация меры $\mu$, или, что то же, $V(f,\mathbb R)$.

В обратную сторону утверждение не верно в общем случае. Например, в качестве $f$ возьмём функцию Дирихле. Интеграл для любого $h$ будет равен нулю, однако вариация функции $f$ бесконечна. Я умею доказывать утверждение в обратную сторону только для непрерывных функций.

[Mikhail_K]

Padawan в сообщении #1538072 писал(а):

Например, в качестве $f$ возьмём функцию Дирихле.

Наверное, речь здесь идёт про интеграл Римана, а не Лебега. Вообще, "интеграл по умолчанию" - это интеграл Римана. Интеграл Римана от функции Дирихле не существует, так что это не контрпример.

[Padawan]

Mikhail_K
Нет, в ТФДП интеграл по умолчанию - это интеграл Лебега. Также в качестве контрпримера подойдёт $f(x)$ везде равная нулю, кроме точек $x\in\mathbb Z$, в которых $f(x)=1$. Для нее интеграл Римана (несобственный) имеет смысл.