
тогда и только тогда, когда

Пусть

. Исправим значения функции

в точках разрыва таким образом, чтобы она стала непрерывной слева. Так как мы изменим значение

не более, чем в счётном множестве точек, на интеграл это не повлияет. Введем меру

, связанную с

:

для всех

,

. Пусть

-- полная вариация меры

. Тогда, используя теорему Фубини,

Таким образом, в качестве константы

подойдёт полная вариация меры

, или, что то же,

.
В обратную сторону утверждение не верно в общем случае. Например, в качестве

возьмём функцию Дирихле. Интеграл для любого

будет равен нулю, однако вариация функции

бесконечна. Я умею доказывать утверждение в обратную сторону только для непрерывных функций.