2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функции ограниченной вариации
Сообщение06.11.2021, 09:37 


05/03/18
47
Доброго времени суток.
В одном видео в интернете видел такое утверждение:
$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant h,\forall h \in \mathbb{R}.$
В стандартных учебниках по теории функции вещественной переменной, на вроде Ульянов, Бахвалов; Натансон; Очан, такого утверждения не нашел.
Может быть есть какая-нибудь книжка по теории функций вещественной переменной, в которой можно найти это и еще много других утверждений про стандартные классы функций, на вроде $C(\Omega), AC(\Omega),BV(\Omega),L^p(\Omega), Lip_\alpha(\Omega)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции ограниченной вариации
Сообщение06.11.2021, 10:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
meshok в сообщении #1537886 писал(а):
$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant h,\forall h \in \mathbb{R}.$

Это неверно. Попробуйте контрпример построить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции ограниченной вариации
Сообщение06.11.2021, 16:24 


05/03/18
47
мат-ламер в сообщении #1537889 писал(а):
meshok в сообщении #1537886 писал(а):
$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant h,\forall h \in \mathbb{R}.$

Это неверно. Попробуйте контрпример построить.

Да, это я по невнимательности в правой части неравенства умножение на константу пропустил, и $h$ должно быть положительным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции ограниченной вариации
Сообщение06.11.2021, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
meshok в сообщении #1537947 писал(а):
Да, это я по невнимательности в правой части неравенства умножение на константу пропустил, и $h$ должно быть положительным.

1. Проверьте ваше неравенство для функции $f(x)=x$ .
2. Может ещё какую-нибудь опечатку в нём найдёте?
3. Попробуйте решить упражнение 5.8.70 из книги В.И. Богачёв "Основы теории меры". Там есть указания на счёт решения.
4. Посмотрите в этой книге информацию по интересующим пространствам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции ограниченной вариации
Сообщение06.11.2021, 17:31 


05/03/18
47
2. Как кажется, больше опечаток нет
$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant Ch,\forall h>0.$
1. Функция $f(x)=x$ не является же функцией ограниченной вариации $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx=\infty.$
За литературу спасибо. На том видео, которое я смотрел, вроде бы, Богачев В.И. и выступал. Он между делом сказал, что такое описание класса $BV$ еще сто лет назад знали, но, конечно, я мог неправильно понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции ограниченной вариации
Сообщение06.11.2021, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
meshok в сообщении #1537967 писал(а):
Функция $f(x)=x$ не является же функцией ограниченной вариации

Извиняюсь. Я упустил, что у нас функции из класса
meshok в сообщении #1537967 писал(а):
$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$

Когда учил этот предмет по Колмогорову-Фомину, то там функции ограниченной вариации задаются на отрезке. То же самое касается книги Дьяченко и Ульянова. Поэтому мне показалось странным. что интеграл берётся по всей действительной прямой. Тогда опечаток нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции ограниченной вариации
Сообщение07.11.2021, 15:56 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
meshok в сообщении #1537967 писал(а):
$\Large \displaystyle f \in BV(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\large \displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x)|dx\leqslant Ch,\forall h>0.$


Пусть $f\in BV(\mathbb R)$. Исправим значения функции $f$ в точках разрыва таким образом, чтобы она стала непрерывной слева. Так как мы изменим значение $f$ не более, чем в счётном множестве точек, на интеграл это не повлияет. Введем меру $\mu$, связанную с $f$: $\mu([a,b))=f(b)-f(a)$ для всех $a,b\in\mathbb R$, $a<b$. Пусть $|\mu|$ -- полная вариация меры $\mu$. Тогда, используя теорему Фубини,
$$
\int\limits_{\mathbb R} |f(x+h)-f(x)|dx\leqslant\int\limits_\mathbb Rdx\int\limits_{[x,x+h)}d|\mu|(y)=\int\limits_\mathbb R d|\mu|(y)\int\limits_{y-h}^y dx=|\mu|(\mathbb R)h.
$$
Таким образом, в качестве константы $C$ подойдёт полная вариация меры $\mu$, или, что то же, $V(f,\mathbb R)$.

В обратную сторону утверждение не верно в общем случае. Например, в качестве $f$ возьмём функцию Дирихле. Интеграл для любого $h$ будет равен нулю, однако вариация функции $f$ бесконечна. Я умею доказывать утверждение в обратную сторону только для непрерывных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции ограниченной вариации
Сообщение07.11.2021, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Padawan в сообщении #1538072 писал(а):
Например, в качестве $f$ возьмём функцию Дирихле.
Наверное, речь здесь идёт про интеграл Римана, а не Лебега. Вообще, "интеграл по умолчанию" - это интеграл Римана. Интеграл Римана от функции Дирихле не существует, так что это не контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции ограниченной вариации
Сообщение08.11.2021, 05:42 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Mikhail_K
Нет, в ТФДП интеграл по умолчанию - это интеграл Лебега. Также в качестве контрпримера подойдёт $f(x)$ везде равная нулю, кроме точек $x\in\mathbb Z$, в которых $f(x)=1$. Для нее интеграл Римана (несобственный) имеет смысл.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group