2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 О диофантовом уравнении, связанном с гипотезой Коллатца
Сообщение01.11.2021, 06:06 


12/05/07
576
г. Уфа
Формулировка гипотезы Коллатца хорошо известна, см. Википедию. Переход $f$ от числа $x$ к следующему числу в последовательности Коллатца состоит в выполнении одной из двух операций - умножения числа на три с добавлением единицы, либо деления числа на два в зависимости от чётности или нечётности числа. Поэтому $$f^k(x)=\frac{3^r\,x+m}{2^s},$$ где $k=r+s$, а число $m>0$ зависит от порядка чередования $r$ операций первого вида и $s$ операций второго вида.
Если мы ищем цикл, то решаем уравнение $f^k(x)=x$, и оно приводит к уравнению $$(2^s-3^r)x=m.$$ Хорошие шансы решить это уравнение в целых числах появляются, если выражение в скобках равно единице. Это даёт диофантово уравнение $$2^s-3^r=1.$$ Одно из решений этого уравнения в целых положительных числах легко угадывается: $s=2$ и $r=1$. Оно даёт $x=1$ и приводит к хорошо известному циклу единицы: $$1\to 4\to 2\to 1.$$ У меня вопрос: имеется ли второе решение в целых положительных числах у диофантова уравнения $2^s-3^r=1$, или же известны какие-то запреты на существование второго решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: О диофантовом уравнении, связанном с гипотезой Коллатца
Сообщение01.11.2021, 09:49 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ruslan_Sharipov в сообщении #1537203 писал(а):
У меня вопрос: имеется ли второе решение в целых положительных числах у диофантова уравнения $2^s-3^r=1$
Это хорошо известная задача для школьников, довольно простая. Обычно она идет в паре с задачей про $3^r-2^s=1$. Вот эта вторая чуть поинтересней.
Ruslan_Sharipov в сообщении #1537203 писал(а):
или же известны какие-то запреты на существование второго решения?
При $s \geqslant 3$ равенство невозможно по модулю 8.

 Профиль  
                  
 
 Re: О диофантовом уравнении, связанном с гипотезой Коллатца
Сообщение01.11.2021, 12:47 


12/05/07
576
г. Уфа
nnosipov в сообщении #1537222 писал(а):
При $s \geqslant 3$ равенство невозможно по модулю 8.
Спасибо! Это замечательно, что вопрос решился! Хотя это совсем не замечательно с точки зрения решения проблемы Коллатца. Придётся идти в сторону усложнений. Не запрещёнными по модулю $8$ для разности $2^s-3^r=q$ являются значения $q=7$ и $q=5$. Они достигаются в следующих случаях: $2^4-3^2=7$ и $2^5-3^3=5$. Имеются ли какие-либо ещё целые положительные решения у диофантовых уравнений $2^s-3^r=7$ и $2^s-3^r=5$, кроме обозначенных выше?

 Профиль  
                  
 
 Re: О диофантовом уравнении, связанном с гипотезой Коллатца
Сообщение01.11.2021, 13:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ruslan_Sharipov в сообщении #1537241 писал(а):
Имеются ли какие-либо ещё целые положительные решения у диофантовых уравнений $2^s-3^r=7$ и $2^s-3^r=5$, кроме обозначенных выше?
Это тоже можно выяснить (предположительный ответ: нет). Про технику доказательства см., например, здесь: topic44444.html.

 Профиль  
                  
 
 Re: О диофантовом уравнении, связанном с гипотезой Коллатца
Сообщение05.11.2021, 11:15 


12/05/07
576
г. Уфа
Уважаемый nnosipov. Спасибо за ссылку. С техникой ознакомился, но как применить её к конкретным уравнениям $2^s-3^r=7$ и $2^s-3^r=5$, пока не сообразил. К тому же возникло новое диофантово уравнение: $$2^m-1=(2^{m+q}-3^q)x.$$
Оно также связано с поиском цикла в задаче Коллатца. Его нужно решить относительно целых положительных $m$, $q$ и $x$, причём $x$ должно быть нечётно. У этого уравнения есть тривиальное решение $m=1$, $q=1$ и $x=1$. Оно соответствует известному циклу единицы $$1\to 4\to 2\to 1.$$ Пожалуйста, подскажите, нет ли и тут каких-то запретов на существование нетривиального решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: О диофантовом уравнении, связанном с гипотезой Коллатца
Сообщение05.11.2021, 12:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ruslan_Sharipov
Легко исключить случай $x=1$. Если $x \geqslant 3$, то в качестве следствия можно получить двойное неравенство $$\left(\frac{3}{2}\right)^q<2^m \leqslant \frac{3^{q+1}-1}{3 \cdot 2^q-1},$$ которое, само по себе, уже невозможно, но вопрос обоснования этой невозможности упрется в проблему рациональных приближений числа $\log_2{3}$. А это, насколько мне известно, сложная проблема.

Резюме: скорее всего, указанное диофантово уравнение не имеет нетривиальных решений, но доказательство не обещает быть простым.

 Профиль  
                  
 
 Re: О диофантовом уравнении, связанном с гипотезой Коллатца
Сообщение05.11.2021, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1897
Санкт-Петербург
Ruslan_Sharipov в сообщении #1537778 писал(а):
... к конкретным уравнениям $2^s-3^r=7$ и $2^s-3^r=5$
Если $\gcd (s,r)=2$, это разность квадратов, если $\gcd (s,r)=3$, это разность кубов. Количество таких отображений конечно, и все они на поверхности: $(s,r)=(3,0),(4,2).$ Еще $2^2-3^2=-5.$ Если же $(s,r)$ взаимно просты, то в пояснение выше сказанного пишем $2^s \approx 3^r$, почленно логарифмируем и получаем $\log_23 \approx \dfrac{s}{r}.$ $$\log_23 \approx 1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,...$$ Выписывая подходящие дроби (поначалу с промежуточными), получаем значения $s,r$, соответствующие наименьшим значениям ф-ии $2^s-3^r:$
$2^1-3^1=-1$
$2^2-3^1=1$
$2^3-3^2=-1$
$2^5-3^3=5$
$2^8-3^5=13$
$2^{11}-3^7=-139$
$2^{19}-3^{12}=-7153$
И далее по нарастающей. По прикидкам, если бы в пределах указанных знаков существовало еще одно решение Вашей задачи (кроме промежуточной дроби $5/3$), она бы содержала очень большой знак $(>55).$ Зайдите в Вольфрам https://www.wolframalpha.com/input/?i=approx+ln3%2Fln2 В районе $230$-го члена есть знак $=964$, но там он должен быть уже порядка миллиардов. Почему происходит именно так, а не иначе — действительно интересный вопрос, гораздо интересней на мой взгляд самой гипотезы Коллаца )

Исправлено 20.00

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group