... к конкретным уравнениям
![$2^s-3^r=7$ $2^s-3^r=7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/7/717d9222489718792dd3a03a29a149be82.png)
и
![$2^s-3^r=5$ $2^s-3^r=5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/2/1f21434cc95a07b1f19dd6ab20e2bfa482.png)
Если
![$\gcd (s,r)=2$ $\gcd (s,r)=2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/3/72391edb8777e7f034793c2782099c0782.png)
, это разность квадратов, если
![$\gcd (s,r)=3$ $\gcd (s,r)=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/2/252322f5fced67aa7ee7101bb68c750482.png)
, это разность кубов. Количество таких отображений конечно, и все они на поверхности:
![$(s,r)=(3,0),(4,2).$ $(s,r)=(3,0),(4,2).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/6/c06fb6a1e4e3abc91513f03339ddd31f82.png)
Еще
![$2^2-3^2=-5.$ $2^2-3^2=-5.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/0/c10dfd2bfd1b6126a46c574b85417c9082.png)
Если же
![$(s,r)$ $(s,r)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/c/3bca6c0546302da95cf9bcdbb587fdc682.png)
взаимно просты, то в пояснение выше сказанного пишем
![$2^s \approx 3^r$ $2^s \approx 3^r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/9/c9916a23b9064c96274de362f213288582.png)
, почленно логарифмируем и получаем
![$$\log_23 \approx 1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,...$$ $$\log_23 \approx 1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,...$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/0/e702e14b5b5501147ae5c62ba815e12f82.png)
Выписывая подходящие дроби (поначалу с промежуточными), получаем значения
![$s,r$ $s,r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/3/c3303390b28101db1fd1704c82708ba882.png)
, соответствующие наименьшим значениям ф-ии
![$2^s-3^r:$ $2^s-3^r:$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/9/659cbf84b67356b25e224b081bb5696282.png)
![$2^1-3^1=-1$ $2^1-3^1=-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/a/f9adf4eb31b35bf3aeacf785936c00bf82.png)
![$2^2-3^1=1$ $2^2-3^1=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b4954c8391c7bed28af60c9a663f8cd682.png)
![$2^3-3^2=-1$ $2^3-3^2=-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/8/bd838f33b337ae27570b213a36a0184782.png)
![$2^5-3^3=5$ $2^5-3^3=5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/d/5cd7a88258f59c8ef2baad4290cd707082.png)
![$2^8-3^5=13$ $2^8-3^5=13$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/0/f20009338f2fb3ec6517fa23bce750d382.png)
![$2^{11}-3^7=-139$ $2^{11}-3^7=-139$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/8/fa83425aaa10f05cd7b0682bfe17677b82.png)
![$2^{19}-3^{12}=-7153$ $2^{19}-3^{12}=-7153$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/9/9d9c3072c566f5481984ec3266a97f5682.png)
И далее по нарастающей. По прикидкам, если бы в пределах указанных знаков существовало еще одно решение Вашей задачи (кроме промежуточной дроби
![$5/3$ $5/3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/e/d0e98a7082977bb94e84459aed198c0d82.png)
), она бы содержала очень большой знак
![$(>55).$ $(>55).$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/3/de35d2a0195da5a91564f5bdab0c7a6182.png)
Зайдите в Вольфрам
https://www.wolframalpha.com/input/?i=approx+ln3%2Fln2 В районе
![$230$ $230$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/7/7b7e3e23be6390f0abbf30593f8a486d82.png)
-го члена есть знак
![$=964$ $=964$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/d/fcdbcc05621e52de69b782786075aa3182.png)
, но там он должен быть уже порядка миллиардов. Почему происходит именно так, а не иначе — действительно интересный вопрос, гораздо интересней на мой взгляд самой гипотезы Коллаца )
Исправлено 20.00