О диофантовом уравнении, связанном с гипотезой Коллатца

[Ruslan_Sharipov]

Формулировка гипотезы Коллатца хорошо известна, см. Википедию. Переход $f$ от числа $x$ к следующему числу в последовательности Коллатца состоит в выполнении одной из двух операций - умножения числа на три с добавлением единицы, либо деления числа на два в зависимости от чётности или нечётности числа. Поэтому

$$f^k(x)=\frac{3^r\,x+m}{2^s},$$

где $k=r+s$, а число $m>0$ зависит от порядка чередования $r$ операций первого вида и $s$ операций второго вида.
Если мы ищем цикл, то решаем уравнение $f^k(x)=x$, и оно приводит к уравнению

$$(2^s-3^r)x=m.$$

Хорошие шансы решить это уравнение в целых числах появляются, если выражение в скобках равно единице. Это даёт диофантово уравнение

$$2^s-3^r=1.$$

Одно из решений этого уравнения в целых положительных числах легко угадывается: $s=2$ и $r=1$. Оно даёт $x=1$ и приводит к хорошо известному циклу единицы:

$$1\to 4\to 2\to 1.$$

У меня вопрос: имеется ли второе решение в целых положительных числах у диофантова уравнения $2^s-3^r=1$, или же известны какие-то запреты на существование второго решения?

[nnosipov]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1537203 писал(а):

У меня вопрос: имеется ли второе решение в целых положительных числах у диофантова уравнения $2^s-3^r=1$

Это хорошо известная задача для школьников, довольно простая. Обычно она идет в паре с задачей про $3^r-2^s=1$. Вот эта вторая чуть поинтересней.

Ruslan_Sharipov в сообщении #1537203 писал(а):

или же известны какие-то запреты на существование второго решения?

При $s \geqslant 3$ равенство невозможно по модулю 8.

[Ruslan_Sharipov]

nnosipov в сообщении #1537222 писал(а):

При $s \geqslant 3$ равенство невозможно по модулю 8.

Спасибо! Это замечательно, что вопрос решился! Хотя это совсем не замечательно с точки зрения решения проблемы Коллатца. Придётся идти в сторону усложнений. Не запрещёнными по модулю $8$ для разности $2^s-3^r=q$ являются значения $q=7$ и $q=5$. Они достигаются в следующих случаях: $2^4-3^2=7$ и $2^5-3^3=5$. Имеются ли какие-либо ещё целые положительные решения у диофантовых уравнений $2^s-3^r=7$ и $2^s-3^r=5$, кроме обозначенных выше?

[nnosipov]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1537241 писал(а):

Имеются ли какие-либо ещё целые положительные решения у диофантовых уравнений $2^s-3^r=7$ и $2^s-3^r=5$, кроме обозначенных выше?

Это тоже можно выяснить (предположительный ответ: нет). Про технику доказательства см., например, здесь: topic44444.html.

[Ruslan_Sharipov]

Уважаемый nnosipov. Спасибо за ссылку. С техникой ознакомился, но как применить её к конкретным уравнениям $2^s-3^r=7$ и $2^s-3^r=5$, пока не сообразил. К тому же возникло новое диофантово уравнение:

$$2^m-1=(2^{m+q}-3^q)x.$$

Оно также связано с поиском цикла в задаче Коллатца. Его нужно решить относительно целых положительных $m$, $q$ и $x$, причём $x$ должно быть нечётно. У этого уравнения есть тривиальное решение $m=1$, $q=1$ и $x=1$. Оно соответствует известному циклу единицы

$$1\to 4\to 2\to 1.$$

Пожалуйста, подскажите, нет ли и тут каких-то запретов на существование нетривиального решения?

[nnosipov]

Ruslan_Sharipov
Легко исключить случай $x=1$. Если $x \geqslant 3$, то в качестве следствия можно получить двойное неравенство

$$\left(\frac{3}{2}\right)^q<2^m \leqslant \frac{3^{q+1}-1}{3 \cdot 2^q-1},$$

которое, само по себе, уже невозможно, но вопрос обоснования этой невозможности упрется в проблему рациональных приближений числа $\log_2{3}$. А это, насколько мне известно, сложная проблема.

Резюме: скорее всего, указанное диофантово уравнение не имеет нетривиальных решений, но доказательство не обещает быть простым.

[Andrey A]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1537778 писал(а):

... к конкретным уравнениям $2^s-3^r=7$ и $2^s-3^r=5$

Если $\gcd (s,r)=2$, это разность квадратов, если $\gcd (s,r)=3$, это разность кубов. Количество таких отображений конечно, и все они на поверхности: $(s,r)=(3,0),(4,2).$ Еще $2^2-3^2=-5.$ Если же $(s,r)$ взаимно просты, то в пояснение выше сказанного пишем $2^s \approx 3^r$, почленно логарифмируем и получаем $\log_23 \approx \dfrac{s}{r}.$

$$\log_23 \approx 1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,...$$

Выписывая подходящие дроби (поначалу с промежуточными), получаем значения $s,r$, соответствующие наименьшим значениям ф-ии $2^s-3^r:$
$2^1-3^1=-1$
$2^2-3^1=1$
$2^3-3^2=-1$
$2^5-3^3=5$
$2^8-3^5=13$
$2^{11}-3^7=-139$
$2^{19}-3^{12}=-7153$
И далее по нарастающей. По прикидкам, если бы в пределах указанных знаков существовало еще одно решение Вашей задачи (кроме промежуточной дроби $5/3$), она бы содержала очень большой знак $(>55).$ Зайдите в Вольфрам https://www.wolframalpha.com/input/?i=approx+ln3%2Fln2 В районе $230$-го члена есть знак $=964$, но там он должен быть уже порядка миллиардов. Почему происходит именно так, а не иначе — действительно интересный вопрос, гораздо интересней на мой взгляд самой гипотезы Коллаца )

Исправлено 20.00