"Reversed irreversibility problem"

[_hum_]

Нечаянно натолкнулся в книге "Anomalous Transport: Foundations and Applications" Rainer Klages, Günter Radons, Igor M. Sokolov на обсуждение применения в физике fractional calculus к проблеме "reversed irreversibility" - объяснению откуда берутся обратимые во времени физические уравнения, цитата (p. 48):

Цитата:

Assume that time is irreversible. Explain how and why time reversible equation arise in physics.

И вроде бы из общих соображений о непрерывности и однородности времени, а также причинности физических явлений, выводят, что (p. 52) инфинитеземальный оператор полугруппы эволюции по времени в общем случае должен представляться как "fractional time derivatives of Marchaud-Hadamard type":

$$A_\alpha f(t) = -\frac{1}{\Gamma(-\alpha)}\int_{0}^{\infty}\frac{f(t-s)-f(t)}{s^{\alpha+1}}ds, \quad 0<\alpha\leqslant 1.$$

При $\alpha = 1$ получается генератор обычной полугруппы сдвигов $T_{\alpha =1}(\Delta t)f(t_0) = f(t_0 -\Delta t)$. Далее говорится:

Цитата:

The special case $\alpha=1 $ occurs more frequently in the limit (2.154) than the case $ \alpha < 1$ in the sense that it has a larger domain of attraction. The fact that the semigroup $T_1(\Delta t)$ can often be extended to a group on all $ \mathbb{R}$ provides an explanation for the seemingly fundamental reversibility of mechanical laws and equations. This solves the "reversed irreversibility problem".

Вот эти последние выводы мне совсем непонятны. Имелось в виду, что в реальности $\alpha\neq 1 $, но по каким-то соображениям (каким?) мы пльзуеммся аппрокимацией $\alpha \approx 1$?

[zykov]

Первый раз слышу про "reversed irreversibility problem". Не ясна мотивация такой постановки вопроса.
Обычно наоборот, фундаментальные уравнения физики симметричны относительно инверсии времени. И нужно объяснить, откуда берутся необратимые процессы (Arrow of time).

[epros]

По-моему, это какие-то умствования на пустом месте. Необратимость уравнений динамики берётся совершенно понятно откуда. Для простоты можно рассмотреть на примере дискретного времени и конечного множества состояний. Тогда уравнение динамики системы сведётся к определению детерминированного конечного автомата. Может ли быть конечный автомат необратим во времени? Да легко! Для этого отображение текущего состояния в следующее должно быть не инъективным, т.е. какие-то два разных состояния $s_i$ и $s_j$ должны отображаться в одно и то же $s_k$, Тогда при попытке инвертировать время мы получим неоднозначность: Непонятно, в какое состояние из двух должна перейти система, находящаяся в состоянии $s_k$.

А вопрос, почему многие фундаментальные уравнения физики оказались обратимыми во времени, уже совершенно отдельный.

[_hum_]

zykov, там и про это говорится, а именно, они ее называют

Цитата:

The normal irreversibility problem: Assume that time is irreversible. Explain how and why time irreversible equation arises in physics.

Но пытаются объяснить именно вторую - The reversed irreversibility problem.

epros
Там не просто философствования, а разбор из физических соображений:

(pp. 48-52)

p.48
p.49
p.50
p.51
p.52

Кроме того, дробное исчисление, действительно, ставит вопрос, а почему, собственно, в основных уравнениях физики используются целочисленные производные, а не дробные. Может, действительно, мы просто делаем какую-то аппрокимацию.

[zykov]

_hum_ в сообщении #1537029 писал(а):

Кроме того, дробное исчисление, действительно, ставит вопрос, а почему, собственно, в основных уравнениях физики используются целочисленные производные, а не дробные.

Потому что хорошо описывает экспериментальные результаты.
Есть ли пример, где модель через "дробные производные" описала бы какую-то область экспериментальных результатов лучше (точнее или проще), чем то что есть?
Если будет такой пример, то физики будут только рады.

[epros]

_hum_ в сообщении #1537029 писал(а):

Там не просто философствования, а разбор из физических соображений

Что-то я не понял этих "физических соображений". Очевидно, что динамическую систему можно определить и так, что динамика будет обратима по времени, и так, что динамика будет необратима по времени. См. на примере конечного автомата. В этом контексте фразы "предположим, что время обратимо" или "предположим, что время необратимо" звучат очень странно.

[_hum_]

epros в сообщении #1537050 писал(а):

В этом контексте фразы "предположим, что время обратимо" или "предположим, что время необратимо" звучат очень странно.

там не было "предположим, что обратимо". Речь идет о том, что предположим, что обратимости нет. Как тогда объяснить наличие в физике обратимых законов.

[epros]

_hum_ в сообщении #1537092 писал(а):

там не было "предположим, что обратимо"

Стр. 48, определение 2.20

[_hum_]

epros
да, вы правы. Я не заметил. Но вопрос же от этого не меняется - как из необратимой динамики системы получаются обратимые уравнения эволюции наблюдаемых. Или я неправильно понимаю? В моем представлении, есть пространство состояний $\mathcal{S}$, и есть также наблюдаемая $f = f(s)$ как функция от состояния, моделирующая измеряемую физическую величину, связанную с этой системой. Изменение значений этой величины можно рассматривать либо как результат эволюции состояния системы: $f(s_t)$, либо как изменение самой наблюдаемой $f_t(s)$. Изменение наблюдаемой $f_t$ за время $\Delta t\geqslant 0$ можно моделировать действием линейного оператора $T^{(\Delta t)}\, f_t $. Семейства таких операторов образуют полугруппу. Так вот в рассуждениях они приходят к общему виду такого оператора, который оказывается параметрическим семейством с параметром $\alpha \in (0,1]$. При $\alpha =1$ у них получается $T^{(\Delta t)}_{\alpha=1}\, f_t \mapsto f_{t-\Delta t}$, и далее они заявляют что-то вроде, что поскольку эта полугруппа часто может быть продолжена до группы, и поскольку этот случай встречается чаще, то это и объясняет обратимость уравнений законов.
Нет?

[epros]

_hum_ в сообщении #1537140 писал(а):

Но вопрос же от этого не меняется - как из необратимой динамики системы получаются обратимые уравнения эволюции наблюдаемых. Или я неправильно понимаю?

Это я что-то не понимаю. Что за вопрос? Как систему определим, такие будут и уравнения. Могут быть обратимыми, а могут быть необратимыми.

Или, может быть, вопрос в том, как "частично" описать систему таким образом, чтобы из необратимой динамики получилась обратимая (или наоборот)? Так это очень легко. Если, скажем, динамика необратима, потому что разные текущие состояния $s_i$ и $s_j$ отображаются в одно будущее состояние $s_k$, то надо описать систему таким образом, чтобы $s_i$ и $s_j$ описывались как одно состояние. А можно и наоборот - сформировать "частичное" описание системы с обратимой динамикой таким образом, что оно окажется необратимым.

[_hum_]

epros в сообщении #1537144 писал(а):

Или, может быть, вопрос в том, как "частично" описать систему таким образом, чтобы из необратимой динамики получилась обратимая (или наоборот)?

Не совсем. Скорее, как из необратимой системы получить обратимые уравнения для динамики наблюдаемых.

epros в сообщении #1537144 писал(а):

Так это очень легко. Если, скажем, динамика необратима, потому что разные текущие состояния $s_i$ и $s_j$ отображаются в одно будущее состояние $s_k$, то надо описать систему таким образом, чтобы $s_i$ и $s_j$ описывались как одно состояние.

Так если рассматривать наблюдаемые, которые принимают различные значения на $s_i$ и $s_j$ , то такой подход с факторизацией разве пройдет?

[epros]

_hum_ в сообщении #1537148 писал(а):

как из необратимой системы получить обратимые уравнения для динамики наблюдаемых

Наблюдаемые это ведь не все? Значит это и есть то, что я сказал: Из "полного" описания делаем "частичное" (только для наблюдаемых, если хотите). И может оказаться так, что первое - необратимо, а второе - обратимо.

-- Вс окт 31, 2021 20:55:43 --

_hum_ в сообщении #1537148 писал(а):

Так если рассматривать наблюдаемые, которые принимают различные значения на $s_i$ и $s_j$ , то такой подход с факторизацией разве пройдет?

Значит нужно сделать так, чтобы различия между $s_i$ и $s_j$ не наблюдались.