2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Reversed irreversibility problem"
Сообщение30.10.2021, 01:37 


23/12/07
1757
Нечаянно натолкнулся в книге "Anomalous Transport: Foundations and Applications" Rainer Klages, Günter Radons, Igor M. Sokolov на обсуждение применения в физике fractional calculus к проблеме "reversed irreversibility" - объяснению откуда берутся обратимые во времени физические уравнения, цитата (p. 48):
Цитата:
Assume that time is irreversible. Explain how and why time reversible equation arise in physics.

И вроде бы из общих соображений о непрерывности и однородности времени, а также причинности физических явлений, выводят, что (p. 52) инфинитеземальный оператор полугруппы эволюции по времени в общем случае должен представляться как "fractional time derivatives of Marchaud-Hadamard type": $$A_\alpha f(t) = -\frac{1}{\Gamma(-\alpha)}\int_{0}^{\infty}\frac{f(t-s)-f(t)}{s^{\alpha+1}}ds, \quad 0<\alpha\leqslant 1.$$
При $\alpha = 1$ получается генератор обычной полугруппы сдвигов $T_{\alpha =1}(\Delta t)f(t_0) = f(t_0 -\Delta t)$. Далее говорится:
Цитата:
The special case $\alpha=1 $ occurs more frequently in the limit (2.154) than the case $ \alpha < 1$ in the sense that it has a larger domain of attraction. The fact that the semigroup $T_1(\Delta t)$ can often be extended to a group on all $ \mathbb{R}$ provides an explanation for the seemingly fundamental reversibility of mechanical laws and equations. This solves the "reversed irreversibility problem".

Вот эти последние выводы мне совсем непонятны. Имелось в виду, что в реальности $\alpha\neq 1 $, но по каким-то соображениям (каким?) мы пльзуеммся аппрокимацией $\alpha \approx 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение30.10.2021, 06:23 


18/09/21
1676
Первый раз слышу про "reversed irreversibility problem". Не ясна мотивация такой постановки вопроса.
Обычно наоборот, фундаментальные уравнения физики симметричны относительно инверсии времени. И нужно объяснить, откуда берутся необратимые процессы (Arrow of time).

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение30.10.2021, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
По-моему, это какие-то умствования на пустом месте. Необратимость уравнений динамики берётся совершенно понятно откуда. Для простоты можно рассмотреть на примере дискретного времени и конечного множества состояний. Тогда уравнение динамики системы сведётся к определению детерминированного конечного автомата. Может ли быть конечный автомат необратим во времени? Да легко! Для этого отображение текущего состояния в следующее должно быть не инъективным, т.е. какие-то два разных состояния $s_i$ и $s_j$ должны отображаться в одно и то же $s_k$, Тогда при попытке инвертировать время мы получим неоднозначность: Непонятно, в какое состояние из двух должна перейти система, находящаяся в состоянии $s_k$.

А вопрос, почему многие фундаментальные уравнения физики оказались обратимыми во времени, уже совершенно отдельный.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение30.10.2021, 13:44 


23/12/07
1757
zykov, там и про это говорится, а именно, они ее называют
Цитата:
The normal irreversibility problem: Assume that time is irreversible. Explain how and why time irreversible equation arises in physics.

Но пытаются объяснить именно вторую - The reversed irreversibility problem.

epros
Там не просто философствования, а разбор из физических соображений:

(pp. 48-52)


Кроме того, дробное исчисление, действительно, ставит вопрос, а почему, собственно, в основных уравнениях физики используются целочисленные производные, а не дробные. Может, действительно, мы просто делаем какую-то аппрокимацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение30.10.2021, 14:28 


18/09/21
1676
_hum_ в сообщении #1537029 писал(а):
Кроме того, дробное исчисление, действительно, ставит вопрос, а почему, собственно, в основных уравнениях физики используются целочисленные производные, а не дробные.
Потому что хорошо описывает экспериментальные результаты.
Есть ли пример, где модель через "дробные производные" описала бы какую-то область экспериментальных результатов лучше (точнее или проще), чем то что есть?
Если будет такой пример, то физики будут только рады.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение30.10.2021, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
_hum_ в сообщении #1537029 писал(а):
Там не просто философствования, а разбор из физических соображений

Что-то я не понял этих "физических соображений". Очевидно, что динамическую систему можно определить и так, что динамика будет обратима по времени, и так, что динамика будет необратима по времени. См. на примере конечного автомата. В этом контексте фразы "предположим, что время обратимо" или "предположим, что время необратимо" звучат очень странно.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение30.10.2021, 23:14 


23/12/07
1757
epros в сообщении #1537050 писал(а):
В этом контексте фразы "предположим, что время обратимо" или "предположим, что время необратимо" звучат очень странно.

там не было "предположим, что обратимо". Речь идет о том, что предположим, что обратимости нет. Как тогда объяснить наличие в физике обратимых законов.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение30.10.2021, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
_hum_ в сообщении #1537092 писал(а):
там не было "предположим, что обратимо"
Стр. 48, определение 2.20

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение31.10.2021, 16:40 


23/12/07
1757
epros
да, вы правы. Я не заметил. Но вопрос же от этого не меняется - как из необратимой динамики системы получаются обратимые уравнения эволюции наблюдаемых. Или я неправильно понимаю? В моем представлении, есть пространство состояний $\mathcal{S}$, и есть также наблюдаемая $f = f(s)$ как функция от состояния, моделирующая измеряемую физическую величину, связанную с этой системой. Изменение значений этой величины можно рассматривать либо как результат эволюции состояния системы: $f(s_t)$, либо как изменение самой наблюдаемой $f_t(s)$. Изменение наблюдаемой $f_t$ за время $\Delta t\geqslant 0$ можно моделировать действием линейного оператора $T^{(\Delta t)}\, f_t $. Семейства таких операторов образуют полугруппу. Так вот в рассуждениях они приходят к общему виду такого оператора, который оказывается параметрическим семейством с параметром $\alpha \in (0,1]$. При $\alpha =1$ у них получается $T^{(\Delta t)}_{\alpha=1}\, f_t \mapsto f_{t-\Delta t}$, и далее они заявляют что-то вроде, что поскольку эта полугруппа часто может быть продолжена до группы, и поскольку этот случай встречается чаще, то это и объясняет обратимость уравнений законов.
Нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение31.10.2021, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
_hum_ в сообщении #1537140 писал(а):
Но вопрос же от этого не меняется - как из необратимой динамики системы получаются обратимые уравнения эволюции наблюдаемых. Или я неправильно понимаю?
Это я что-то не понимаю. Что за вопрос? Как систему определим, такие будут и уравнения. Могут быть обратимыми, а могут быть необратимыми.

Или, может быть, вопрос в том, как "частично" описать систему таким образом, чтобы из необратимой динамики получилась обратимая (или наоборот)? Так это очень легко. Если, скажем, динамика необратима, потому что разные текущие состояния $s_i$ и $s_j$ отображаются в одно будущее состояние $s_k$, то надо описать систему таким образом, чтобы $s_i$ и $s_j$ описывались как одно состояние. А можно и наоборот - сформировать "частичное" описание системы с обратимой динамикой таким образом, что оно окажется необратимым.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение31.10.2021, 17:51 


23/12/07
1757
epros в сообщении #1537144 писал(а):
Или, может быть, вопрос в том, как "частично" описать систему таким образом, чтобы из необратимой динамики получилась обратимая (или наоборот)?

Не совсем. Скорее, как из необратимой системы получить обратимые уравнения для динамики наблюдаемых.

epros в сообщении #1537144 писал(а):
Так это очень легко. Если, скажем, динамика необратима, потому что разные текущие состояния $s_i$ и $s_j$ отображаются в одно будущее состояние $s_k$, то надо описать систему таким образом, чтобы $s_i$ и $s_j$ описывались как одно состояние.

Так если рассматривать наблюдаемые, которые принимают различные значения на $s_i$ и $s_j$ , то такой подход с факторизацией разве пройдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Reversed irreversibility problem"
Сообщение31.10.2021, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
_hum_ в сообщении #1537148 писал(а):
как из необратимой системы получить обратимые уравнения для динамики наблюдаемых
Наблюдаемые это ведь не все? Значит это и есть то, что я сказал: Из "полного" описания делаем "частичное" (только для наблюдаемых, если хотите). И может оказаться так, что первое - необратимо, а второе - обратимо.

-- Вс окт 31, 2021 20:55:43 --

_hum_ в сообщении #1537148 писал(а):
Так если рассматривать наблюдаемые, которые принимают различные значения на $s_i$ и $s_j$ , то такой подход с факторизацией разве пройдет?
Значит нужно сделать так, чтобы различия между $s_i$ и $s_j$ не наблюдались. :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group