Комбинаторика- Св-ва Биномиальных коэф.

[Hollow89]

Добрый день. Прошу совета по доказательству этих соотношений комбинаторным способом. Есть ли какие нибудь общие методы , рассуждения?

1. $C_n^{k-r} /C_n^k =(k)r/(n-k+r)r$

2. $C_{n-r}^{k-r} /C_n^k =(k)r/(n)r$

3. $C_{n+1}^k /C_n^k =n+1/n-k+1$

Спасибо.

[Brukvalub]

Например, третье. Запишем его в виде:

\[ C_n^k (n + 1) = C_{n + 1}^k (n - k + 1) \]

Тогда число слева мжно толковать так: чтобы выбрать из (n+1) предмета к штук, можно сначала выбрать 1 из (n+1), а затем выбрать оставшиеся к штук из оставшихся n.
Но, можно поступить иначе: сначала выбрать к штук из (n+1) предмета, после чего добавить к ним еще 1 предмет из

\[ n + 1 - k \]

оставшихся.
попробуйте теперь аналогично разобраться с остальными.

[Xaositect]

Ну, во первых, пропорцию нужно переписать как равенство произведений.
А потом подумать, какая комбинаторика за этим может стоять.
Например, последнее равенство можно доказать так:
$\frac{C_{n+1}^k} {C_n^k} = \frac{n+1}{n-k+1}\ \Leftrightarrow\ (n+1)C_n^k = C_{n+1}^k(n-k+1)$
Последнее равенство имеет следующий комбинаторный смысл: количество способов покрасить $k$ шаров в зеленый цвет и один в красный, если всего у нас $n+1$ шар, можно посчитать двумя способами: либо сначала покрасить один в зеленый, а потом $k$ в красный(левая часть равенства), либо наоборот(правая).