2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение19.01.2021, 12:06 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
mihaild в сообщении #1501825 писал(а):
Подсказка: в качестве этого множества можно вообще взять все рациональные числа нашего полуинтервала.

Для исходной задачи - да, и ТС это, вроде, говорил. Но вот для моей "усовершенствованной" задачи - не пройдет (теперь отдельные точки в полукольцо не входят).

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение19.01.2021, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8336
Цюрих
DeBill в сообщении #1501828 писал(а):
теперь отдельные точки в полукольцо не входят
Отдельные точки не входят. А вот множество $\mathbb Q \cap [0, 1)$ (все рациональные точки полуинтервала) - входит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение20.01.2021, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1501735 писал(а):
Но как это доказать непосредственно - с учетом того, что пример появился до конструкции продолжения?
Ну, вместо точек можно взять достаточно малые полуинтервалы с суммарной длиной $<1$. Если хочется без пересечений, то подправить стандартным образом. Немного длинно, но всяко проще лебегова продолжения. С множествами меры нуль гораздо проще работать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение20.01.2021, 14:48 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
RIP

(Оффтоп)

Ну да, я так и делал. Просто хотелось, чтоб сам ТС родил эту конструкцию.
И ссылка на продолжение мне нужна была - лишь для того, чтобы лишить ТС иллюзий. А так - конечно, надо делать непосредственно, ручками

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение20.01.2021, 22:29 


14/02/20
832
DeBill
Честно говоря, я не вижу особой разницы между этим множеством и мерой, и таким же множеством и мерой, только без упоминания "пересечения с рациональными числами" (то есть просто полукольцо полуинтервалов на $[0;1)$). И как доказать, что нет сигма-аддитивности, ума не приложу :(
Кажется, что если я

(Оффтоп)

RIP в сообщении #1501968 писал(а):
, вместо точек можно взять достаточно малые полуинтервалы с суммарной длиной $<1$

возьму "достаточно малые полуинтервалы", чем это поможет? Их длина конечна, все равно сумма их длин, даже если их счетное количество, будет сходиться к длине того, что они вместе составляют... И я не вижу, какой контрпример привести. Либо я как-то не совсем так понимаю задачу (вполне вероятно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение20.01.2021, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8336
Цюрих
artempalkin в сообщении #1502095 писал(а):
Их длина конечна, все равно сумма их длин, даже если их счетное количество, будет сходиться к длине того, что они вместе составляют...
Так а вы сделайте, как вам советуют - замените каждую точку на малый полуинтервал. Что будет объединением этих полуинтервалов? Какова будет его мера? А какова будет сумма мер полуинтервалов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение21.01.2021, 08:53 


14/02/20
832
mihaild в сообщении #1502112 писал(а):
Так а вы сделайте, как вам советуют - замените каждую точку на малый полуинтервал. Что будет объединением этих полуинтервалов? Какова будет его мера? А какова будет сумма мер полуинтервалов?

Ничего не понимаю... Пронумеруем точки как-нибудь, их счетное число. Покроем каждую точку малым полуинтервалом длины $\frac 1 {4^n}$, где $n$ -- ее номер. Сумма длин этих полуинтервалов будет меньше 1, но при этом они, конечно, покрывают все множество.

Тут нужны какие-то детали, типа чтобы они не пересекались и чтобы близкие к 0 и 1 полуинтервалы не выходили за рамки нашего множества, но на самом деле уточнение этих деталей только еще уменьшит меру.

Нда, спасибо, честно признаться - ничего контринтуитивнее я в жизни не встречал

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение21.01.2021, 14:20 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
artempalkin в сообщении #1502126 писал(а):
чтобы они не пересекались

Ну, для (счетной)полуаддитивности (а она, фактически, равносильна сигма-аддитивности) этого можно и не требовать. Так что неполуаддитивность проверяется достаточено легко, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение22.01.2021, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8336
Цюрих
artempalkin в сообщении #1502126 писал(а):
ничего контринтуитивнее я в жизни не встречал
То ли еще будет на плоскости (озера Вады, например).
И да, это очень хороший пример, демонстрирующий, что прямая устроена гораздо сложнее, чем кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера
Сообщение28.10.2021, 21:40 


14/02/20
832
DeBill в сообщении #1501735 писал(а):
Но тогда сработает конструкция лебегова продолжения меры, и мера продолжится на точки, и опять станет плохо. Так что - нет, не будет. Но как это доказать непосредственно - с учетом того, что пример появился до конструкции продолжения?

Изучил я, что такое лебегово продолжение меры. Да, доказательство гениальное :) То есть даже если я не знаю, почему вдруг мера, придуманая DeBill не будет сигма-аддитивной, я делаю следующее.
Предположим, она сигма-аддитивная. Тогда она продолжится на некоторую систему (так называет Колмогоров) измеримых множеств. Отдельные рациональные точки будут измеримыми множествами (можно покрыть каждую из них сколь угодно малым полуинтервалом), причем их лебегова мера будет равна $0$. Лебегово продолжение меры должна быть сигма-аддитивным, а его значение на элементах исходного полукольца есть значения исходной меры.
Тогда сложим меры всех точек, получим $0$, а никак не меру всего исходного полуинтервала.
Итог - исходная мера не была сигма-аддитивной, и лебегово она не продолжается.

RIP в сообщении #1501968 писал(а):
Немного длинно, но всяко проще лебегова продолжения.

Не сказал бы, что это сложно. Мне кажется, понимая лебегово продолжение меры до этого даже проще додуматься, чем до покрытия каждой точки полуинтервалами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group