Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера

[DeBill]

mihaild в сообщении #1501825 писал(а):

Подсказка: в качестве этого множества можно вообще взять все рациональные числа нашего полуинтервала.

Для исходной задачи - да, и ТС это, вроде, говорил. Но вот для моей "усовершенствованной" задачи - не пройдет (теперь отдельные точки в полукольцо не входят).

[mihaild]

DeBill в сообщении #1501828 писал(а):

теперь отдельные точки в полукольцо не входят

Отдельные точки не входят. А вот множество $\mathbb Q \cap [0, 1)$ (все рациональные точки полуинтервала) - входит.

[RIP]

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1501735 писал(а):

Но как это доказать непосредственно - с учетом того, что пример появился до конструкции продолжения?

Ну, вместо точек можно взять достаточно малые полуинтервалы с суммарной длиной $<1$. Если хочется без пересечений, то подправить стандартным образом. Немного длинно, но всяко проще лебегова продолжения. С множествами меры нуль гораздо проще работать.

[DeBill]

RIP

(Оффтоп)

Ну да, я так и делал. Просто хотелось, чтоб сам ТС родил эту конструкцию.
И ссылка на продолжение мне нужна была - лишь для того, чтобы лишить ТС иллюзий. А так - конечно, надо делать непосредственно, ручками

[artempalkin]

DeBill
Честно говоря, я не вижу особой разницы между этим множеством и мерой, и таким же множеством и мерой, только без упоминания "пересечения с рациональными числами" (то есть просто полукольцо полуинтервалов на $[0;1)$). И как доказать, что нет сигма-аддитивности, ума не приложу :(
Кажется, что если я

(Оффтоп)

RIP в сообщении #1501968 писал(а):

, вместо точек можно взять достаточно малые полуинтервалы с суммарной длиной $<1$

возьму "достаточно малые полуинтервалы", чем это поможет? Их длина конечна, все равно сумма их длин, даже если их счетное количество, будет сходиться к длине того, что они вместе составляют... И я не вижу, какой контрпример привести. Либо я как-то не совсем так понимаю задачу (вполне вероятно).

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1502095 писал(а):

Их длина конечна, все равно сумма их длин, даже если их счетное количество, будет сходиться к длине того, что они вместе составляют...

Так а вы сделайте, как вам советуют - замените каждую точку на малый полуинтервал. Что будет объединением этих полуинтервалов? Какова будет его мера? А какова будет сумма мер полуинтервалов?

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1502112 писал(а):

Так а вы сделайте, как вам советуют - замените каждую точку на малый полуинтервал. Что будет объединением этих полуинтервалов? Какова будет его мера? А какова будет сумма мер полуинтервалов?

Ничего не понимаю... Пронумеруем точки как-нибудь, их счетное число. Покроем каждую точку малым полуинтервалом длины $\frac 1 {4^n}$, где $n$ -- ее номер. Сумма длин этих полуинтервалов будет меньше 1, но при этом они, конечно, покрывают все множество.

Тут нужны какие-то детали, типа чтобы они не пересекались и чтобы близкие к 0 и 1 полуинтервалы не выходили за рамки нашего множества, но на самом деле уточнение этих деталей только еще уменьшит меру.

Нда, спасибо, честно признаться - ничего контринтуитивнее я в жизни не встречал

[DeBill]

artempalkin в сообщении #1502126 писал(а):

чтобы они не пересекались

Ну, для (счетной)полуаддитивности (а она, фактически, равносильна сигма-аддитивности) этого можно и не требовать. Так что неполуаддитивность проверяется достаточено легко, да.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1502126 писал(а):

ничего контринтуитивнее я в жизни не встречал

То ли еще будет на плоскости (озера Вады, например).
И да, это очень хороший пример, демонстрирующий, что прямая устроена гораздо сложнее, чем кажется.

[artempalkin]

DeBill в сообщении #1501735 писал(а):

Но тогда сработает конструкция лебегова продолжения меры, и мера продолжится на точки, и опять станет плохо. Так что - нет, не будет. Но как это доказать непосредственно - с учетом того, что пример появился до конструкции продолжения?

Изучил я, что такое лебегово продолжение меры. Да, доказательство гениальное :) То есть даже если я не знаю, почему вдруг мера, придуманая DeBill не будет сигма-аддитивной, я делаю следующее.
Предположим, она сигма-аддитивная. Тогда она продолжится на некоторую систему (так называет Колмогоров) измеримых множеств. Отдельные рациональные точки будут измеримыми множествами (можно покрыть каждую из них сколь угодно малым полуинтервалом), причем их лебегова мера будет равна $0$. Лебегово продолжение меры должна быть сигма-аддитивным, а его значение на элементах исходного полукольца есть значения исходной меры.
Тогда сложим меры всех точек, получим $0$, а никак не меру всего исходного полуинтервала.
Итог - исходная мера не была сигма-аддитивной, и лебегово она не продолжается.

RIP в сообщении #1501968 писал(а):

Немного длинно, но всяко проще лебегова продолжения.

Не сказал бы, что это сложно. Мне кажется, понимая лебегово продолжение меры до этого даже проще додуматься, чем до покрытия каждой точки полуинтервалами.