2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Что такое сложение?
Сообщение27.10.2021, 17:00 


20/01/19
40
Вопрос покажется странным, но какой бы раздел математики я не стал учить, я всегда приходил к выводу, что я не вполне готов изучать данную тему и переходил на ступень ниже: от логарифмов к степеням, от степеней к умножению, от умножения к сложению, от сложения к понятию числа. Я надеялся, что достигну дна и оттолкнусь, но дна нету. Я не понимаю смысл сложения по-настоящему, как мне кажется. Например, собаку можно научить ходить на задних лапах, но это лишь дрессировка, а не ее естественное поведение. Может быть есть какая-то философская книга, которая раскрывает смысл числа и операций над ним? Вот сегодня сидел и думал: зачем складывать, что такое арифметическая операция вообще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение27.10.2021, 17:06 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Детей в первом классе учат.
Есть две кучки камней. В одной 5 камней, в другой 4 камня.
Объеденили эти две кучки вместе в одну. Сколько в этой новой кучке камней?
$5+4=9$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение27.10.2021, 17:16 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ

(Оффтоп)

Цитата:
и думал: зачем складывать, что такое арифметическая операция вообще?
про вычитание да же не задумываетесь !!!!

А если серьезно, то zykov на наглядном примере пояснил сложение. Тем более это очень естественная операция. ссылка

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение27.10.2021, 17:27 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
Resa в сообщении #1536557 писал(а):
Может быть есть какая-то философская книга, которая раскрывает смысл числа и операций над ним?

Есть. Э.Ландау Основы анализа

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение27.10.2021, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
Интуитивно (мне) кажется, что арифметические операции со всеми своими аксиомами могли бы быть каким-то образом выведены из ещё более простых понятий, например, таких как соединение (целого из частей), разделение (целого на части), сохранение (количества при таких соединениях и разделениях).
Однако ничего такого я продемонстрировать не могу, и нигде в литературе не встречал.
Так что, видимо, придётся смириться с тем, что стандартное аксиоматическое построение является самым простым и понятным путём постижения арифметики. Там дно есть, хотя интуитивно сразу не понятно, почему оно именно такое, и нельзя ли что-нибудь убрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение27.10.2021, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
Resa в сообщении #1536557 писал(а):
Может быть есть какая-то философская книга, которая раскрывает смысл числа и операций над ним?

Можете взять первый том энциклопедии элементарной математики и начать его прорабатывать. Книга для вашего уровня наверное будет непростой. Только смысл в этой деятельности для меня неочевиден.

Мне кажется, что более полезным будет вопрос расширить и задуматься над глобальным вопросом "Что такое математика?" :-) Для начала можно начать изучать книгу Куранта и Роббинса с аналогичным названием.

Когда придёт зрелость, можно начать почитывать книгу Кириллова "Что такое число?" . Книга не для простого ума. Я как-то её пролистывал, и она показалось для меня слишком сложной, чтобы взяться за её изучение. Сейчас думаю, что может быть хотя бы местами стоит её почитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение28.10.2021, 01:24 


22/10/20
1194
worm2 в сообщении #1536571 писал(а):
Так что, видимо, придётся смириться с тем, что стандартное аксиоматическое построение является самым простым и понятным путём постижения арифметики.
Поддержу ТС-а, пусть знает, что такая боль не у него одного. Аксиоматическое построение возможно и является самым коротким способом, но уж точно не самым простым и понятным (для меня уж точно). Меня, например, сбивало с толку понятие линейного отображения. Почему из всех вариантов поведения отображения мы изучаем именно такое? Стандартное объяснение такое: рассматриваем линейные функции (вида $y = ax$) над действительными числами. Они все удовлетворяют аксиомам линейности и их графики - прямые линии, отсюда и название. А линейные отображения это якобы такое обобщение свойства линейности для линейных функций. Но по факту никакое это не объяснение. Линейные отображения интересны не потому, что они самые простые, много где встречаются, графики в вещественном случае у них прямые и т.д. , а потому что это гомоморфизм векторных пространств. А образ при гомоморфизме изоморфен факторпространству по ядру. Иными словами, если есть линейное отображение, то мы имеем всю информацию об образе. Есть у нас неизвестная штука. Мы берем известную штуку и ищем гомоморфизм из нее в неизвестную штуку. И практически всегда (если образ полный) мы получаем всю информацию о неизвестной штуке. Причем информация очень понятная (структура факторобъекта устроена просто). И вроде бы, если я правильно помню, тут вообще не важно, группы ли у нас, модули, векторные пространства или что-то еще: теорема о гомоморфизме справедлива для любых мультиоператорных алгебр. Т.е. линейное отображение хорошо не потому, что оно линейное, а потому что оно гомоморфизм.

Та же петрушка с самими аксиомами линейного пространства. Стандартное объяснение: смотрим на геометрические вектора плоскости, находим их свойства, формулируем их в виде аксиом и вуаля. Возникает, понятно дело, куча вопросов из разряда: а почему выбрали именно такие свойства? а почему бы не убрать тогда какую-нибудь аксиому? почему единица действует как единица? а куда скалярное произведение делось? и так далее. Если эту тему нормально объяснить, то вопросов там никаких не возникнет. Но почему то до сих пор тему "линейные пространства" стартуют с аксиом, несмотря на то, что это к большому счастью тот редкий случай, когда аксиомы можно вывести из более базовых принципов и полностью закрыть вопрос об их мотивации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение28.10.2021, 07:43 


21/05/16
4292
Аделаида

(Оффтоп)

maxmatem
Спасибо за поломку всей страницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение28.10.2021, 08:44 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
kotenok gav

(Оффтоп)

Не понял Ваше высказывание.......

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение28.10.2021, 09:22 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  maxmatem, приведенную ссылку надо было оформить нормально, а не просто вставить: она слишком длинная, у многих пользователей это "разносит" экран вправо, что делает чтение темы предельно неудобным. Сейчас я это сам поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение28.10.2021, 09:47 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
Pphantom
приношу свои извинения. В дальнейшем не допущу такого ляпа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение28.10.2021, 15:06 


22/10/20
1194
EminentVictorians в сообщении #1536601 писал(а):
Есть у нас неизвестная штука. Мы берем известную штуку и ищем гомоморфизм из нее в неизвестную штуку. И практически всегда (если образ полный) мы получаем всю информацию о неизвестной штуке. Причем информация очень понятная (структура факторобъекта устроена просто).
Интересно, а можно ли этот принцип обобщить? Чем был так хорош гомоморфизм, например, групп? Я поначалу очень сильно удивился, что из такого короткого условия ($f(ab) = f(a)f(b)$) вытекает столько много всего. Но потом подумал и понял, что условие то на самом деле довольно жесткое. И после этого вау-эффект от теоремы о гомоморфизме вроде как поубавился.

Обобщить хотелось бы следующим образом. Есть нечто известное и понятное $A$ и неведомое $B$. Мы берем и строим некоторое отображение из $A$ в $B$ (или наоборот, не знаю). Сам факт существования отображения, удовлетворяющего каким-либо свойствам, накладывает ограничения на образ. Хотелось бы выделить какие-то классы отображений (типа гомоморфизмов), которые индуцируют какую-либо структуру (типа факторобъекта) на области определения и переносят часть свойств с образа на структуру на области определения. Кто-нибудь сталкивался с чем-то подобным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение28.10.2021, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
EminentVictorians в сообщении #1536601 писал(а):
Но почему то до сих пор тему "линейные пространства" стартуют с аксиом, несмотря на то, что это к большому счастью тот редкий случай, когда аксиомы можно вывести из более базовых принципов и полностью закрыть вопрос об их мотивации.
Гм, а можете рассказать подробнее, про какие базовые принципы Вы говорите, из которых можно вывести все аксиомы линейного пространства. Это интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение28.10.2021, 16:32 


10/04/12
705
Resa в сообщении #1536557 писал(а):
Может быть есть какая-то философская книга, которая раскрывает смысл числа и операций над ним? Вот сегодня сидел и думал: зачем складывать, что такое арифметическая операция вообще?


Ну... мне кажется, тут больше проблема в понимании того, что такое доказательство. И получается, что непонятно доказательство, основанное на некотором факте $P$. И возникает иллюзия, что для того, чтобы понять его, надо понять также и доказательство $P$. Это не совсем верно, но и на этому пути есть дно — математическая логика и формализация понятия «доказательство»

Ну а смысл... В чём смысл того, что в шахматах королева ходит взад-вперёд и вправо влево? А кони только буквой «Г»? Просто если выбрать такие правила, то мы получаем увлекательную игру. Точно так же, выброр именно такого определение сложения обуславливает много применений в народном хозяйстве. Но для самой математики это просто одна их бесчисленного множества аксиоматических теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение28.10.2021, 18:32 


22/10/20
1194
Mikhail_K в сообщении #1536713 писал(а):
Гм, а можете рассказать подробнее, про какие базовые принципы Вы говорите, из которых можно вывести все аксиомы линейного пространства. Это интересно.
Да это банальность на самом деле. Идея в том, чтобы брать что угодно, любое множество объектов и операций над ними, и попытаться прикрутить алгебраический подход к этому множеству. "Прикрутить" - это значит построить изоморфизм между интересующим нас множеством и обычными числами, с которыми мы умеем делать алгебраические преобразования. (Разумеется это получится не всегда, но для довольно широкого класса структур получится). В этом одна из причин силы алгебры - результаты формальных преобразований выражений с числами в конце цепочки преобразований интерпретируются с точки зрения предметной области и получаются содержательные результаты об объектах самой предметной области без манипуляции с самими объектами предметной области. Объекты предметной области могут быть устроены довольно коряво, с кучей частных случаев, исключений и т.д. И если мы начнем работать непосредственно с ними, то доказательства будут выглядеть громоздко, сложно и неинтуитивно. И тут мы обнаруживаем, что можно работать не с самими объектами, а с числами. Т.е. "алгебраизировать" предметную область. И сложные доказательства с кучей частных случаев и искусственных приемов свернутся в короткую строчку алгебраических преобразований.

Но чтобы это стало возможным, как я уже выше написал, необходимо эту "алгебраизацию" сделать - т.е. построить отображение из интересного нам множества в числа. Если совсем коротко, то это значит просто напросто ввести систему координат. Сразу понятно, что наибольший интерес представляет ситуация, когда это отображение в числа (или из чисел) является изоморфизмом. Если нет биекции, значит либо нет однозначности и разные числа описывают один и тот же объект (или разные объекты описываются одним и тем же числом) - нарушена инъективность, либо нет сюрьективности и некоторые числа ничего не описывают (или до некоторых точек не получится дотянуться никаким числом). Это не значит, что нужны биекции и только биекции (вспомним полярную систему координат), но довольно естественно считать, что наиболее удобны таки биекции.

Теперь, если мы смогли построить изоморфизм просто в числа (т.е. в поле $K$), то все прекрасно, вываливаем на предметную область весь алгебраический аппарат и радуемся результатам. Но скорее всего, точки предметной области будут кодироваться не числами, а наборами чисел, т.е. в биекции будет фигурировать не $K$, а $K^n$ с привычными покомпонентными операциями.

Заметьте, векторное пространство относительно сложения образует абелеву группу не потому, что так в аксиомах написано, а потому что абелеву группу образуют наборы длины $n$ пространства $K^n$ и потому что мы хотим иметь с ним изоморфизм. В этом заключается один из "базовых принципов". Точно так же можно и про единицу сказать и вообще про любую аксиому. Таким образом, этот абзац закрывает условный класс вопросов типа "почему единица действует как единица".

Остался вопрос с минимальностью и выводом системы аксиом ВП. Если перед нами голое ВП, то мы хотим понимать, что это именно ВП, "из коробки". Строить изоморфизм каждый раз было бы довольно дико. Где-то на этом этапе мы должны осознать (вывести из базовых принципов), что нашему пространству ничего не остается, кроме как иметь базис - минимальное порождающее множество. И все базисы обязаны иметь одинаковое число векторов. А для этого должно быть необходимо, чтобы выполнялась основная лемма о линейной зависимости, для которой, в свою очередь, должна выполняться теорема о существовании нетривиального решения недоопределенной однородной СЛАУ. Дальше смысл в том, чтобы брать и раскручивать эту цепочку дальше и дальше, пока мы не осознаем, что вот такие-то аксиомы мы просто обязаны принять, т.к. без них цепочка не срастется и мы не сможем получить абстрактное векторное пространство, удовлетворяющее нашим хотелкам ("базовым принципам" в моей терминологии). Я попытался несколько месяцев назад пройти по этому пути. Дойти до аксиом у меня не получилось, но я уверен на 100% что это не пшик, а вполне таки способ выстроить линейную алгебру. Интуитивно я понимаю где дно и я в принципе на этом успокоился, но если бы теория сразу была бы в учебнике рассказана вот так, то как минимум мне жить было бы легче. А скорее всего не только мне.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group