Гм, а можете рассказать подробнее, про какие базовые принципы Вы говорите, из которых можно вывести все аксиомы линейного пространства. Это интересно.
Да это банальность на самом деле. Идея в том, чтобы брать что угодно, любое множество объектов и операций над ними, и попытаться прикрутить алгебраический подход к этому множеству. "Прикрутить" - это значит построить изоморфизм между интересующим нас множеством и обычными числами, с которыми мы умеем делать алгебраические преобразования. (Разумеется это получится не всегда, но для довольно широкого класса структур получится). В этом одна из причин силы алгебры - результаты формальных преобразований выражений с числами в конце цепочки преобразований интерпретируются с точки зрения предметной области и получаются содержательные результаты об объектах самой предметной области
без манипуляции с самими объектами предметной области. Объекты предметной области могут быть устроены довольно коряво, с кучей частных случаев, исключений и т.д. И если мы начнем работать непосредственно с ними, то доказательства будут выглядеть громоздко, сложно и неинтуитивно. И тут мы обнаруживаем, что можно работать не с самими объектами, а с числами. Т.е. "алгебраизировать" предметную область. И сложные доказательства с кучей частных случаев и искусственных приемов свернутся в короткую строчку алгебраических преобразований.
Но чтобы это стало возможным, как я уже выше написал, необходимо эту "алгебраизацию" сделать - т.е. построить отображение из интересного нам множества в числа. Если совсем коротко, то это значит просто напросто ввести систему координат. Сразу понятно, что наибольший интерес представляет ситуация, когда это отображение в числа (или из чисел) является изоморфизмом. Если нет биекции, значит либо нет однозначности и разные числа описывают один и тот же объект (или разные объекты описываются одним и тем же числом) - нарушена инъективность, либо нет сюрьективности и некоторые числа ничего не описывают (или до некоторых точек не получится дотянуться никаким числом). Это не значит, что нужны биекции и только биекции (вспомним полярную систему координат), но довольно естественно считать, что наиболее удобны таки биекции.
Теперь, если мы смогли построить изоморфизм просто в числа (т.е. в поле
), то все прекрасно, вываливаем на предметную область весь алгебраический аппарат и радуемся результатам. Но скорее всего, точки предметной области будут кодироваться не числами, а наборами чисел, т.е. в биекции будет фигурировать не
, а
с привычными покомпонентными операциями.
Заметьте, векторное пространство относительно сложения образует абелеву группу не потому, что так в аксиомах написано, а потому что абелеву группу образуют наборы длины
пространства
и потому что мы хотим иметь с ним изоморфизм. В этом заключается один из "базовых принципов". Точно так же можно и про единицу сказать и вообще про любую аксиому. Таким образом, этот абзац закрывает условный класс вопросов типа "почему единица действует как единица".
Остался вопрос с минимальностью и выводом системы аксиом ВП. Если перед нами голое ВП, то мы хотим понимать, что это именно ВП, "из коробки". Строить изоморфизм каждый раз было бы довольно дико. Где-то на этом этапе мы должны осознать (вывести из базовых принципов), что нашему пространству ничего не остается, кроме как иметь базис - минимальное порождающее множество. И все базисы обязаны иметь одинаковое число векторов. А для этого должно быть необходимо, чтобы выполнялась основная лемма о линейной зависимости, для которой, в свою очередь, должна выполняться теорема о существовании нетривиального решения недоопределенной однородной СЛАУ. Дальше смысл в том, чтобы брать и раскручивать эту цепочку дальше и дальше, пока мы не осознаем, что вот такие-то аксиомы мы просто обязаны принять, т.к. без них цепочка не срастется и мы не сможем получить абстрактное векторное пространство, удовлетворяющее нашим хотелкам ("базовым принципам" в моей терминологии). Я попытался несколько месяцев назад пройти по этому пути. Дойти до аксиом у меня не получилось, но я уверен на 100% что это не пшик, а вполне таки способ выстроить линейную алгебру. Интуитивно я понимаю где дно и я в принципе на этом успокоился, но если бы теория сразу была бы в учебнике рассказана вот так, то как минимум мне жить было бы легче. А скорее всего не только мне.