Гм, а можете рассказать подробнее, про какие базовые принципы Вы говорите, из которых можно вывести все аксиомы линейного пространства. Это интересно.
Да это банальность на самом деле. Идея в том, чтобы брать что угодно, любое множество объектов и операций над ними, и попытаться прикрутить алгебраический подход к этому множеству. "Прикрутить" - это значит построить изоморфизм между интересующим нас множеством и обычными числами, с которыми мы умеем делать алгебраические преобразования. (Разумеется это получится не всегда, но для довольно широкого класса структур получится). В этом одна из причин силы алгебры - результаты формальных преобразований выражений с числами в конце цепочки преобразований интерпретируются с точки зрения предметной области и получаются содержательные результаты об объектах самой предметной области
без манипуляции с самими объектами предметной области. Объекты предметной области могут быть устроены довольно коряво, с кучей частных случаев, исключений и т.д. И если мы начнем работать непосредственно с ними, то доказательства будут выглядеть громоздко, сложно и неинтуитивно. И тут мы обнаруживаем, что можно работать не с самими объектами, а с числами. Т.е. "алгебраизировать" предметную область. И сложные доказательства с кучей частных случаев и искусственных приемов свернутся в короткую строчку алгебраических преобразований.
Но чтобы это стало возможным, как я уже выше написал, необходимо эту "алгебраизацию" сделать - т.е. построить отображение из интересного нам множества в числа. Если совсем коротко, то это значит просто напросто ввести систему координат. Сразу понятно, что наибольший интерес представляет ситуация, когда это отображение в числа (или из чисел) является изоморфизмом. Если нет биекции, значит либо нет однозначности и разные числа описывают один и тот же объект (или разные объекты описываются одним и тем же числом) - нарушена инъективность, либо нет сюрьективности и некоторые числа ничего не описывают (или до некоторых точек не получится дотянуться никаким числом). Это не значит, что нужны биекции и только биекции (вспомним полярную систему координат), но довольно естественно считать, что наиболее удобны таки биекции.
Теперь, если мы смогли построить изоморфизм просто в числа (т.е. в поле
), то все прекрасно, вываливаем на предметную область весь алгебраический аппарат и радуемся результатам. Но скорее всего, точки предметной области будут кодироваться не числами, а наборами чисел, т.е. в биекции будет фигурировать не
, а
с привычными покомпонентными операциями.
Заметьте, векторное пространство относительно сложения образует абелеву группу не потому, что так в аксиомах написано, а потому что абелеву группу образуют наборы длины
пространства
и потому что мы хотим иметь с ним изоморфизм. В этом заключается один из "базовых принципов". Точно так же можно и про единицу сказать и вообще про любую аксиому. Таким образом, этот абзац закрывает условный класс вопросов типа "почему единица действует как единица".
Остался вопрос с минимальностью и выводом системы аксиом ВП. Если перед нами голое ВП, то мы хотим понимать, что это именно ВП, "из коробки". Строить изоморфизм каждый раз было бы довольно дико. Где-то на этом этапе мы должны осознать (вывести из базовых принципов), что нашему пространству ничего не остается, кроме как иметь базис - минимальное порождающее множество. И все базисы обязаны иметь одинаковое число векторов. А для этого должно быть необходимо, чтобы выполнялась основная лемма о линейной зависимости, для которой, в свою очередь, должна выполняться теорема о существовании нетривиального решения недоопределенной однородной СЛАУ. Дальше смысл в том, чтобы брать и раскручивать эту цепочку дальше и дальше, пока мы не осознаем, что вот такие-то аксиомы мы просто обязаны принять, т.к. без них цепочка не срастется и мы не сможем получить абстрактное векторное пространство, удовлетворяющее нашим хотелкам ("базовым принципам" в моей терминологии). Я попытался несколько месяцев назад пройти по этому пути. Дойти до аксиом у меня не получилось, но я уверен на 100% что это не пшик, а вполне таки способ выстроить линейную алгебру. Интуитивно я понимаю где дно и я в принципе на этом успокоился, но если бы теория сразу была бы в учебнике рассказана вот так, то как минимум мне жить было бы легче. А скорее всего не только мне.
Для начала можно начать изучать книгу Куранта и Роббинса с аналогичным названием.
) над действительными числами. Они все удовлетворяют аксиомам линейности и их графики - прямые линии, отсюда и название. А линейные отображения это якобы такое обобщение свойства линейности для линейных функций. Но по факту никакое это не объяснение. Линейные отображения интересны не потому, что они самые простые, много где встречаются, графики в вещественном случае у них прямые и т.д. , а потому что это гомоморфизм векторных пространств. А образ при гомоморфизме изоморфен факторпространству по ядру. Иными словами, если есть линейное отображение, то мы имеем 
) вытекает столько много всего. Но потом подумал и понял, что условие то на самом деле довольно жесткое. И после этого вау-эффект от теоремы о гомоморфизме вроде как поубавился. 
и неведомое 
. Мы берем и строим некоторое отображение из 
. И возникает иллюзия, что для того, чтобы понять его, надо понять также и доказательство