Что такое сложение?

[zykov]

epros в сообщении #1537122 писал(а):

Что такое "расстановка скобок"?

Это и есть Ассоциативность: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

[epros]

Вот-вот, и я об этом.

[EminentVictorians]

zykov в сообщении #1537129 писал(а):

Это и есть Ассоциативность: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

Ассоциативность - это свойство независимости результата операции от расстановки скобок для трех операндов. Т.е. частный случай. Общий случай независимости - он для $n$. Если операция ассоциативна, то результат ее применения к $n$ операндам не зависит от расстановки скобок в выражении. Доказывается индукцией начиная с $n = 3$ (база как раз выполняется благодаря ассоциативности). В обратную сторону тривиально. Таким образом, это как бы отдельное утверждение, эквивалентное ассоциативности (и имеющее более прозрачный смысл на мой взгляд).

[zykov]

$3$ проще чем $n$
аксиомы всегда стараются привести в наипростейшем виде

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1537157 писал(а):

Таким образом, это как бы отдельное утверждение, эквивалентное ассоциативности (и имеющее более прозрачный смысл на мой взгляд).

До "более прозрачного смысла" так и не добрались, ибо на мой вопрос "что такое расстановка скобок" не было отвечено. Хорошо, тогда отвечу я. Скобки расставляются не абы как произвольным образом неизвестно для чего. Скобки определяют порядок выполнения операций. Так что ассоциативность означает независимость от порядка выполнения операций. И по вполне очевидным причинам для её наличия в самом общем случае достаточно определения из трёх операндов.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1537157 писал(а):

Таким образом, это как бы отдельное утверждение, эквивалентное ассоциативности (и имеющее более прозрачный смысл на мой взгляд).

Допустим, мы заменили аксиому ассоциативности на аксиому "произвольности скобок". Как будете доказывать, что целые числа есть группа по сложению?

[EminentVictorians]

epros, я думаю, что мы в принципе говорим об одном и том же, так что согласен со всем вышенаписанным.

мат-ламер в сообщении #1537166 писал(а):

Допустим, мы заменили аксиому ассоциативности на аксиому "произвольности скобок". Как будете доказывать, что целые числа есть группа по сложению?

Дак обычная ассоциативность из "произвольности скобок" сразу следует. Ничего же не теряется и не приобретается. Просто замена одного определения на ему эквивалентное другое.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1537166 писал(а):

Как будете доказывать, что целые числа есть группа по сложению?

EminentVictorians в сообщении #1537169 писал(а):

Дак обычная ассоциативность из "произвольности скобок" сразу следует.

Этим вы не докажете, что целые числа есть группа по сложению.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1537169 писал(а):

Просто замена одного определения на ему эквивалентное другое.

А где было "эквивалентное другое определение"?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1537169 писал(а):

из "произвольности скобок" сразу следует

Вот такая: $(a+b+c)$ "расстановка скобок" Вас устроит? Так что когда попытаетесь объяснить, какие "расстановки скобок" являются "законными", то убедитесь, что Ваш вариант определения отнюдь не проще.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1537170 писал(а):

Этим вы не докажете, что целые числа есть группа по сложению.

Почему? Мы знаем, что они ассоциативны, существует ноль и противоположный для любого. А значит и эквивалентной аксиоматике группы удовлетворяют.

epros в сообщении #1537172 писал(а):

Вот такая: $(a+b+c)$ "расстановка скобок" Вас устроит?

Это же не имеющая смысла запись. Мы можем опускать скобки в выражении после того, как установили тот самый факт независимости результата от расстановки скобок. От имеющей смысл расстановки скобок. Это предполагается в самом утверждении. И как только мы эту независимость установили, то тогда уже можно писать $a + b + c$.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1537170 писал(а):

Этим вы не докажете, что целые числа есть группа по сложению.

EminentVictorians в сообщении #1537173 писал(а):

Почему?

Мы читаем определение группы. Там аксиома "произвольности скобок".

EminentVictorians в сообщении #1537169 писал(а):

Дак обычная ассоциативность из "произвольности скобок" сразу следует

Согласен. С очевидностью.

EminentVictorians в сообщении #1537173 писал(а):

Мы знаем, что они ассоциативны,

Согласен. Целые числа ассоциативны. С очевидностью.

И что? Мы уже доказали, что целые числа есть группа по сложению?

Что-то я вечером плохо соображаю. Завтра в тему вернусь.

[EminentVictorians]

мат-ламер, а из обычной ассоциативности следует "произвольность скобок". Я же выше написал, что эти 2 определения эквивалентны. Поэтому все тут с целыми числами нормально доказано я думаю.

-- 31.10.2021, 20:32 --

EminentVictorians в сообщении #1537157 писал(а):

Общий случай независимости - он для $n$. Если операция ассоциативна, то результат ее применения к $n$ операндам не зависит от расстановки скобок в выражении. Доказывается индукцией начиная с $n = 3$ (база как раз выполняется благодаря ассоциативности).

вот здесь

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1537173 писал(а):

От имеющей смысл расстановки скобок. Это предполагается в самом утверждении

Вас с такими "определениями по понятиям" не поймут. Скажут: Определите, какие расстановки скобок "имеют смысл".

-- Вс окт 31, 2021 21:35:46 --

мат-ламер в сообщении #1537174 писал(а):

Согласен. Целые числа ассоциативны. С очевидностью.

Кстати, что-то я не заметил, чтобы здесь это кто-то доказывал. "Очевидность", разумеется, не доказательство.

[EminentVictorians]

epros вот смотрите. Есть утверждение о независимости результата алгебраического выражения от расстановки скобок. О чем оно? Об алгебраических выражениях. $(a+b) + c$ это алгебраическое выражение. $(()a)+b)()$ вот это не является алгебраическим выражением. Такие случаи не рассматриваются по умолчанию, зачем их обсуждать?