уравнение второго порядка в целых числах

[Ivan 09]

Разбиралось уравнение совсем недавно. Решил создать отдельную тему.
уравнение $x^2+4xy+y^2=111$ (в целых числах)
Я решать так
$(x+y)^2+2xy=111$
$111$-нечетно, значит и левая часть должна быть нечетной. $2xy$- четно, поэтому $(x+y)$-нечетно.
$x=2n, y =2n+1$
раскрыв скобки и сократив
$(2n+2n+1)^2+2(2n)(2n+1)=111$
после получим
$24n^2+12n-110=0$
$12n^2+6n-55=0$
Первые два слагаемых четны, третье - нечетно. Отсюда вывод, что решений нет.
Есть ли ошибки в моих рассуждениях?

[мат-ламер]

Ivan 09 в сообщении #1536581 писал(а):

$(x+y)$-нечетно.
$x=2n, y =2n+1$

В принципе возможен и противоположный вариант. Поэтому после слова "нечётно" лучше вставить: "Поскольку уравнение симметрично относительно неизвестных, то, не теряя общности, можно считать ....".

[svv]

Кроме того, запись $x=2n, y =2n+1$ означает, что $y=x+1$, а это ниоткуда не следует. Исправьте на $x=2n, y=2m+1$. Числа $n$ и $m$ могут совпадать, а могут и различаться.

[Ivan 09]

мат-ламер
svv
Спасибо, разобрался
после замены и преобразований пришел к тому, что $3x+y$ должно быть четным и получил противоречие.

[svv]

Ivan 09, а Вы разобрались, какое красивое решение этого уравнения предлагалось в той теме?

[Ivan 09]

svv
Мне кажется, что разобрался.
Cоставил таблицу остатков левой части при делении на $3$.
$(x+y)^2+2xy$ делится без остатка на $3$ только, если $x=y$, но тогда $6x^2=111$ ; $2x^2=37$ - противоречие.
Или имелось ввиду что-то другое, что я упустил?

[svv]

Имелись в виду остатки от деления на $4$.
Правая часть даёт остаток $3$. А что в левой?
$x^2$ — остаток будет $0$ или $1$.
$y^2$ — остаток будет $0$ или $1$.
$4xy$ — остаток равен $0$.
И «натянуть» в левой части остаток $3$ никак не получится.

[victor.l]

А уравнение $x^2+4xy+y^2=-111$ имеет бесконечное множество решений. Например $x=8 x=20 y=-7$.