2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 17:41 


28/03/21
187
Здравствуйте.
Возникла у меня затыка с одним заданием из самостоятельной работы. 14 из 15 решила, а вот это никак не даётся.
Решить в целых уравнение $x^2+4xy+y^2=111$.
Что я делала:
1. Пыталась разложить на множители - не раскладывается.
2. Попробовала выделить полный квадрат. Пришла к каким-то дико-громоздким дробям.
3. Решала данное уравнение как квадратное относительно $x$. Безуспешно.
Но этим и исчерпываются все методы, которые давали на лекциях.
Мне не нужно решение, подскажите идею, как подступиться к этому уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 17:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Gepidium в сообщении #1536062 писал(а):
Мне не нужно решение, подскажите идею, как подступиться к этому уравнению.
Докажите, что решений нет, рассмотрев это уравнение по подходящему модулю. Неужели про этот метод (называется "метод остатков") на лекции ничего не рассказывалось? Этот метод входит в стандартный набор элементарных (для школьников) методов решения диофантовых уравнений.

Стандартный пример. Уравнение $x^2-3y^2=-1$ неразрешимо в целых числах, потому что левая часть уравнения никогда не дает остатка 2 при делении на 3. (Убедитесь, что остаток 2 действительно невозможен для левой части.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 17:57 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Gepidium в сообщении #1536062 писал(а):
Но этим и исчерпываются все методы, которые давали на лекциях
А прямой перебор не пробовали? Ведь это простейший и самый первый способ решения диофантовых уравнений, который даётся в учебниках. Неужели преподаватель его не упомянул?
Тем более, что здесь прямой перебор совсем небольшой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 17:59 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Gepidium в сообщении #1536062 писал(а):
2. Попробовала выделить полный квадрат. Пришла к каким-то дико-громоздким дробям.
А вот это не есть гуд: все-таки, выделять полный квадрат надо уметь, это полезная техника. И никаких диких дробей там нет.

-- Сб окт 23, 2021 22:00:36 --

Gagarin1968 в сообщении #1536066 писал(а):
А прямой перебор не пробовали?
Прямой перебор чего? Все целые числа перебрать не удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 18:06 


28/03/21
187
nnosipov в сообщении #1536065 писал(а):
Докажите, что решений нет, рассмотрев это уравнение по подходящему модулю
nnosipov
А как определить, какой модуль подходящий?
Gagarin1968 в сообщении #1536066 писал(а):
здесь прямой перебор совсем небольшой
Gagarin1968
Прямой перебор чего? Всевозможных наборов$(x,y)$?
Или я что-то не догоняю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 18:11 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Gepidium в сообщении #1536070 писал(а):
Прямой перебор чего?
nnosipov в сообщении #1536067 писал(а):
Прямой перебор чего? Все целые числа перебрать не удастся
Нет, конечно.
Прямой перебор остатков по $\mod 3$, учитывая, что $111=3\cdot 37$.
И рассмотреть всего 9 случаев. Я неправ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Gepidium в сообщении #1536062 писал(а):
1. Пыталась разложить на множители - не раскладывается.

Всё же можно попытаться разложить, для начала сделав подходящую линейную замену.

То есть привести к виду $uv=a$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 18:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Gagarin1968 в сообщении #1536072 писал(а):
Я неправ?
По модулю 3 соответствующее сравнение разрешимо, это ничего не даст.

-- Сб окт 23, 2021 22:17:29 --

мат-ламер в сообщении #1536073 писал(а):
Всё же можно попытаться разложить
На множители с иррациональными коэффициентами? А что потом делать? Боюсь, теорию уравнений Пелля пока изучать рановато.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 18:18 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
nnosipov в сообщении #1536074 писал(а):
По модулю 3 соответствующее сравнение разрешимо, это ничего не даст.
nnosipov
Я полагаю, что всё-таки неразрешимо, и это даёт всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 18:19 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Gepidium в сообщении #1536070 писал(а):
А как определить, какой модуль подходящий?
Да подряд пробовать и надеяться, что повезет. 2 не подходит, 3 тоже. А 4?

-- Сб окт 23, 2021 22:20:53 --

Gagarin1968 в сообщении #1536075 писал(а):
Я полагаю, что всё-таки неразрешимо
Сравнение $x^2+4xy+y^2 \equiv 111 \pmod{3}$ разрешимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 18:24 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
nnosipov
Я имел в виду полный перебор остатков левой части уравнения по $\mod 3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 18:29 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Gagarin1968 в сообщении #1536079 писал(а):
Я имел в виду полный перебор остатков левой части уравнения по $\mod 3$.
Вы, помимо этого, имеете в виду еще что-то. Потому что этот перебор (сам по себе) не приводит к противоречию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 18:49 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
nnosipov в сообщении #1536080 писал(а):
Потому что этот перебор (сам по себе) не приводит к противоречию
nnosipov
Ну как же не приводит, когда приводит. Смотрите сами (не выкладываю своё решение, только рассмотрю первые 3 случая):
1. x \equiv 0\pmod{3}:
а) y \equiv 0\pmod{3}. Тогда x^2+4xy+y^2 делится на 3^2=9, а правая часть - не делится.
б) y \equiv 1\pmod{3}. Тогда x^2+4xy+y^2\equiv 1\pmod{3}, а 111 \not\equiv 1\pmod{3}.
в) y \equiv 2\pmod{3}. Тогда x^2+4xy+y^2\equiv 1\pmod{3}, а 111 \not\equiv 1\pmod{3}.

2.x \equiv 1\pmod{3}:
а)
б)
в)
...................................................
И последние 3 случая (при x \equiv 2\pmod{3}.
И везде получается противоречие.
Я где-то ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 19:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Gagarin1968 в сообщении #1536086 писал(а):
Тогда x^2+4xy+y^2 делится на 3^2=9, а правая часть - не делится.
Вот это и есть то дополнительное, что Вы привлекаете. Фактически это рассуждение по модулю 9. По модулю 9 противоречие есть, а по модулю 3 нет.

Между тем, можно найти такой модуль $m<9$, что сравнение $x^2+4xy+y^2 \equiv 111 \pmod{m}$ будет неразрешимым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2-го порядка
Сообщение23.10.2021, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
мат-ламер в сообщении #1536073 писал(а):
для начала сделав подходящую линейную замену.

Этим можно чуток уравнение упростить. Полагая $z=x+2y$ , приходим к уравнению $z^2-3y^2=111$ , которое есть следствие исходного. Дальше в этом уравнении делаем подстановку $z=3t$ и приходим к уравнению $3t^2-y^2=37$ . Дальше это уравнение пробуем решать по модулю 3 .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group