2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 уравнение второго порядка в целых числах
Сообщение27.10.2021, 21:45 


14/09/16
280
Разбиралось уравнение совсем недавно. Решил создать отдельную тему.
уравнение $x^2+4xy+y^2=111$ (в целых числах)
Я решать так
$(x+y)^2+2xy=111$
$111$-нечетно, значит и левая часть должна быть нечетной. $2xy$- четно, поэтому $(x+y)$-нечетно.
$x=2n, y =2n+1$
раскрыв скобки и сократив
$(2n+2n+1)^2+2(2n)(2n+1)=111$
после получим
$24n^2+12n-110=0$
$12n^2+6n-55=0$
Первые два слагаемых четны, третье - нечетно. Отсюда вывод, что решений нет.
Есть ли ошибки в моих рассуждениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение второго порядка в целых числах
Сообщение27.10.2021, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Ivan 09 в сообщении #1536581 писал(а):
$(x+y)$-нечетно.
$x=2n, y =2n+1$

В принципе возможен и противоположный вариант. Поэтому после слова "нечётно" лучше вставить: "Поскольку уравнение симметрично относительно неизвестных, то, не теряя общности, можно считать ....".

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение второго порядка в целых числах
Сообщение27.10.2021, 22:17 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Кроме того, запись $x=2n, y =2n+1$ означает, что $y=x+1$, а это ниоткуда не следует. Исправьте на $x=2n, y=2m+1$. Числа $n$ и $m$ могут совпадать, а могут и различаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение второго порядка в целых числах
Сообщение27.10.2021, 23:12 


14/09/16
280
мат-ламер
svv
Спасибо, разобрался
после замены и преобразований пришел к тому, что $3x+y$ должно быть четным и получил противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение второго порядка в целых числах
Сообщение27.10.2021, 23:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ivan 09, а Вы разобрались, какое красивое решение этого уравнения предлагалось в той теме?

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение второго порядка в целых числах
Сообщение28.10.2021, 10:44 


14/09/16
280
svv
Мне кажется, что разобрался.
Cоставил таблицу остатков левой части при делении на $3$.
$(x+y)^2+2xy$ делится без остатка на $3$ только, если $x=y$, но тогда $6x^2=111$ ; $2x^2=37$ - противоречие.
Или имелось ввиду что-то другое, что я упустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение второго порядка в целых числах
Сообщение28.10.2021, 12:33 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Имелись в виду остатки от деления на $4$.
Правая часть даёт остаток $3$. А что в левой?
$x^2$ — остаток будет $0$ или $1$.
$y^2$ — остаток будет $0$ или $1$.
$4xy$ — остаток равен $0$.
И «натянуть» в левой части остаток $3$ никак не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение второго порядка в целых числах
Сообщение30.10.2021, 20:06 


29/10/11
94
А уравнение $x^2+4xy+y^2=-111$ имеет бесконечное множество решений. Например $x=8 x=20 y=-7$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group