2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Задача 19 ЕГЭ-22
Сообщение25.10.2021, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
statistonline в сообщении #1536299 писал(а):
TOTAL в сообщении #1536281 писал(а):
Цифры числа: $3a+1, \; 3b-1, \; 3c-1$.
не могу понять, почему положили именно так?
Только так сумма квадратов делится на три.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 19 ЕГЭ-22
Сообщение25.10.2021, 22:10 


05/09/16
11467
statistonline в сообщении #1536221 писал(а):
Просто подбирать? Например, 587.

Я бы рассуждал, по рабоче-крестьянски, так. Остатки от деления квадратов цифр на три - либо ноль либо единица. Цифры 0 и 1 не подходят - с ними нельзя сделать сумму 20. Тогда в искомом числе или цифры 3,6,9 (остаток от деления их квадратов на 3 равен 0) или 2,4,5,7,8 (остаток от деления их квадратов на 3 равен 1). Но квадраты цифр 3,6,9 все делятся и на 9, так что их вычеркиваем. Остаются цифры 2,4,5,7,8 Но 2 неподходит т.к. для суммы трех цифр равной 20 надо взять 2+9+9 а девятки отсеяли на предыдущем этапе. Остаются цифры-кандидаты 4,5,7,8 а остатки от деления их квадратов на 9 равны соответственно 7,7,4,1. Сумму 20 можно составить двумя способами: 4+8+8 или 5+7+8. Первое не подходит (сумма квадратов делится на 9) значит остается второе 5+7+8.

Перебор не нужен. Вернее, теперь в качестве подходящего ответа можно смело записать все комбинации из 5,7 и 8. Никакие другие не бдут удобвлетворять условию в силу вышеописанного.
Дальше чем знание таблицы умножения, а также знание того, что остаток от деления суммы на число есть остаток от деленния суммы остатков слагаемых на это число на это число, тут не нужны...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 19 ЕГЭ-22
Сообщение26.10.2021, 18:18 


06/09/12
890
TOTAL в сообщении #1536307 писал(а):
Только так сумма квадратов делится на три.
спасибо, понял.
wrest в сообщении #1536350 писал(а):
Я бы рассуждал, по рабоче-крестьянски, так.
да, это красивый вариант - без перебора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 19 ЕГЭ-22
Сообщение26.10.2021, 22:54 


23/01/07
3415
Новосибирск
Сумма цифр числа $a+b+c =20\equiv 2\pmod 9$
Сумма квадратов цифр $a^2+b^2+c^2\equiv 3\pmod 9$
Разность этих сумм $(a^2-a)+(b^2-b)+(c^2-c)\equiv 1\pmod 9$
Разностей остатков квадратов цифр и остатков самих цифр всего четыре $0,2,3,6$
Из этих разностей надо набрать искомый комплект и он окажется единственным $2+2+6=10\equiv 1 \pmod 9$ (без учета перестановок).
Из условия, что сумма цифр равна $20$, в итоге получаются цифры $5,7,8$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group