Задача 19 ЕГЭ-22

[TOTAL]

statistonline в сообщении #1536299 писал(а):

TOTAL в сообщении #1536281 писал(а):

Цифры числа: $3a+1, \; 3b-1, \; 3c-1$.

не могу понять, почему положили именно так?

Только так сумма квадратов делится на три.

[wrest]

statistonline в сообщении #1536221 писал(а):

Просто подбирать? Например, 587.

Я бы рассуждал, по рабоче-крестьянски, так. Остатки от деления квадратов цифр на три - либо ноль либо единица. Цифры 0 и 1 не подходят - с ними нельзя сделать сумму 20. Тогда в искомом числе или цифры 3,6,9 (остаток от деления их квадратов на 3 равен 0) или 2,4,5,7,8 (остаток от деления их квадратов на 3 равен 1). Но квадраты цифр 3,6,9 все делятся и на 9, так что их вычеркиваем. Остаются цифры 2,4,5,7,8 Но 2 неподходит т.к. для суммы трех цифр равной 20 надо взять 2+9+9 а девятки отсеяли на предыдущем этапе. Остаются цифры-кандидаты 4,5,7,8 а остатки от деления их квадратов на 9 равны соответственно 7,7,4,1. Сумму 20 можно составить двумя способами: 4+8+8 или 5+7+8. Первое не подходит (сумма квадратов делится на 9) значит остается второе 5+7+8.

Перебор не нужен. Вернее, теперь в качестве подходящего ответа можно смело записать все комбинации из 5,7 и 8. Никакие другие не бдут удобвлетворять условию в силу вышеописанного.
Дальше чем знание таблицы умножения, а также знание того, что остаток от деления суммы на число есть остаток от деленния суммы остатков слагаемых на это число на это число, тут не нужны...

[statistonline]

TOTAL в сообщении #1536307 писал(а):

Только так сумма квадратов делится на три.

спасибо, понял.

wrest в сообщении #1536350 писал(а):

Я бы рассуждал, по рабоче-крестьянски, так.

да, это красивый вариант - без перебора.

[Батороев]

Сумма цифр числа $a+b+c =20\equiv 2\pmod 9$
Сумма квадратов цифр $a^2+b^2+c^2\equiv 3\pmod 9$
Разность этих сумм $(a^2-a)+(b^2-b)+(c^2-c)\equiv 1\pmod 9$
Разностей остатков квадратов цифр и остатков самих цифр всего четыре $0,2,3,6$
Из этих разностей надо набрать искомый комплект и он окажется единственным $2+2+6=10\equiv 1 \pmod 9$ (без учета перестановок).
Из условия, что сумма цифр равна $20$, в итоге получаются цифры $5,7,8$.