Параметризация квадрата

[alexey007]

Привет, всем!

Всем известна парамтеризация окружности $x^2+y^2=1$, т.е. от дух парметров можно придти к одному $\varphi$ и получить параметы $x=\cos(\varphi), y=\sin(\varphi)$.
Мне нужно, сделать тоже самое, но только для уравнение квадрата $|x|+|y|=1$. Пытался гуглить, но ничего не нашел, может потому что неправильно запрос строил. Если кто знает, где поискать или как свести к одному параметру, подскажите плиз

[ozheredov]

alexey007
В случае окружности одна переменная схлопывается, потому что евклидово расстояние от нуля до точек окружности постоянно (и равно 1). Наверное нужно перейди к другой метрике -- типа манхэттенской, но это не точно )

[zykov]

Так же задайте $\phi$ в диапазоне от $0$ до $4\sqrt 2$ - длину вдоль контура.
И выразите $x$ и $y$ кусочно линейно через $\phi$.

[alisa-lebovski]

Да просто надо взять $x,y$ как для окружности и возвести в квадрат с сохранением знака.
Ну, то есть $x=(\cos^2\varphi){\rm sign}(\cos\varphi)$, $y=(\sin^2\varphi){\rm sign}(\sin\varphi)$.

[svv]

Вам надо подобрать формулы для функций $x(t), y(t)$, у которых будут такие графики:

$x(t)$ — красный, $y(t)$ — зелёный.
Достаточно найти $x(t)$, потому что $y(t)=x(t-1)$.

[mihiv]

Возможная параметризация:

$$x=\cos \varphi , y=sgn(\pi -\varphi )(1-|\cos \varphi |), 0\leq\varphi \leq 2\pi $$

[svv]

Ещё одна:
$x(t)=|4\{t\}-2|-1$
$y(t)=x(t-\frac 1 4)$

[TOTAL]

А вот так
$x=\cos\varphi|\cos\varphi|, \; y=\sin\varphi|\sin\varphi|$

[svv]

А это вариант alisa-lebovski.

[TOTAL]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1536435 писал(а):

А это вариант alisa-lebovski.

А я не подглядывал!

[alexey007]

Спасибо, всем!!!

[Padawan]

svv в сообщении #1536422 писал(а):

Вам надо подобрать формулы для функций $x(t), y(t)$, у которых будут такие графики:

$x(t)$ — красный, $y(t)$ — зелёный.

$y(t)=\arcsin(\sin(\frac{\pi}{2}t))$.

[svv]

Padawan, да.
Выше я предложил ещё один вариант формул для этих графиков (только ещё сжатых по оси $t$ в $4$ раза, так что период равен $1$, оказалось, что так формулы проще). Спортивной целью было не использовать тригонометрические функции.

[alexey007]

Всем спасибо, за советы о параметризации квадрата!
Сейчас думаю, над другой параметризацией:

$p_1+p_2+p_3+p_4=0$

$-1\le p_i \le 1, i=1..4$

Если есть идей подскажите, плиз. Я так понимаю, можно параметризовать на 3 параметра. Но вот как лучше это сделать, пока не понимаю.

[zykov]

Взять 3 базисных вектора в этом подпространстве.
И записать линейные ограничения по кускам.
(Граница - пересечение границы гиперкуба $p_i=\pm1$ со стороной 2 и этой гиперплоскости.)