Параметризация квадрата

[мат-ламер]

alexey007 в сообщении #1537717 писал(а):

Сейчас думаю, над другой параметризацией:

alexey007 в сообщении #1537717 писал(а):

Я так понимаю, можно параметризовать на 3 параметра

Вы бы рассказали, откуда задача взялась. А то, может, и не надо никакая параметризация. Или сгодится та, что есть, т.е. от 4-х параметров.

[alexey007]

мат-ламер в сообщении #1537724 писал(а):

Цитата:

Вы бы рассказали, откуда задача взялась. А то, может, и не надо никакая параметризация. Или сгодится та, что есть, т.е. от 4-х параметров.

Саму физику рассказывать долго, минут на 20, а писать еще дольше, боюсь, что пойдут вопросы и до сути дела не дойдем. Хочу параметризовать, так как у меня функция зависит от 15 параметров и мне нужно найти глобальный максимум. Путем долгого анализа, получилось так, что если сделать некоторые преобразования, то можно получить ту же самую функцию, но уже от 4х параметров для которых будет выполняться соотношение, которое я записал:
$p_1+p_2+p_3+p_4=0$

$-1\le p_i \le 1, i=1..4$
Так вот, теперь я хочу получить параметризацию, чтобы иметь уже 3 параметра и искать экстремум функции от трех параметров, которые меняются в заданном диапазоне.

[zykov]

Сделайте, как я писал, получится точка внутри 3-мерного многогранника.
Хоть даже так:
$-1\le p_i \le 1, i=1..3$
$-1\le p_1+p_2+p_3 \le 1$

[мат-ламер]

alexey007 в сообщении #1537729 писал(а):

Так вот, теперь я хочу получить параметризацию, чтобы иметь уже 3 параметра и искать экстремум функции от трех параметров, которые меняются в заданном диапазоне.

Думаете, так проще будет? Что за трёхмерное тело получится в сечении, вы представляете? Я пока нет. Вспоминаю задачу из школьной геометрии. Там при сечении куба неожиданно возникает шестиугольник.

[lel0lel]

Запишите $p_i=\sin \alpha_i$ и решайте уравнение. Можно воспользоваться суммой синусов, а затем решать. Только простого ответа не получится.

[alexey007]

lel0lel в сообщении #1537736 писал(а):

Запишите $p_i=\sin \alpha_i$ и решайте уравнение. Можно воспользоваться суммой синусов, а затем решать. Только простого ответа не получится.

Спасибо! Я так уже писал и через косинус. Только для двух косинусов и синусов могу сгрупировать, а дальше не знаю как.

$\cos(t_1)+\cos(t_2)+\cos(t_3)+\cos(t_4)=0$

$\cos(\frac{t_1-t_2}{2})\cos(\frac{t_1+t_2}{2})+\cos(\frac{t_3-t_4}{2})\cos(\frac{t_3+t_4}{2})=0$
Дальше не знаю, что делать

[lel0lel]

alexey007 в сообщении #1537737 писал(а):

$\cos(t_1)+\cos(t_2)+\cos(t_3)+\cos(t_4)=0$

Отсюда $t_4$ это арккосинус)

[alexey007]

lel0lel в сообщении #1537738 писал(а):

alexey007 в сообщении #1537737 писал(а):

$\cos(t_1)+\cos(t_2)+\cos(t_3)+\cos(t_4)=0$

Отсюда $t_4$ это арккосинус)

Всем спасибо! Очень люблю этот форум! Пошел программировать

[zykov]

Только $\cos(t_1)+\cos(t_2)+\cos(t_3)$ может быть по модулю больше $1$, так что не любые тройки $(t_1,t_2,t_3)$ подойдут.

[alexey007]

zykov в сообщении #1537743 писал(а):

Только $\cos(t_1)+\cos(t_2)+\cos(t_3)$ может быть по модулю больше $1$, так что не любые тройки $(t_1,t_2,t_3)$ подойдут.

Точно!

[zykov]

Вобщем берите три числа $(p_1,p_2,p_3)$. И накладывайте на них ограничения.

zykov в сообщении #1537731 писал(а):

Хоть даже так:
$-1\le p_i \le 1, i=1..3$
$-1\le p_1+p_2+p_3 \le 1$

Будет пересечение 3-мерного кубика и слоя между двумя плоскостями $p_1+p_2+p_3 = \pm1$.
Тут естественно будет $p_4=-(p_1+p_2+p_3)$.

-- 04.11.2021, 23:35 --

Вобщем, в любом случае будет 3-мерная фигура.
Если эти три числа линейно преобразовать, то будет такой же многогранник полученный аффинным преобразованием.
Если нелинейно преобразовать, то тоже будет многогранник, только с кривыми рёбрами и гранями.

[lel0lel]

alexey007
Можно вручную разобрать. Пишем двойное неравенство. Рассматриваем случаи когда сумма двух косинусов отрицательна и когда положительна. В обоих случаях останется одно неравенство (из двойного) на третий угол. Из него будет следовать ограничение на третий угол с арккосинусом.

[мат-ламер]

Ограничение, что сумма всех $p_i$ равно нулю, портит всю картину. Если бы его не было, то введение косинусов сводило бы задачу с ограничениями к задаче без ограничений. Хотя и тут возникали бы дополнительные сложности при вычислении производных. А теперь у нас вроде возникает задача без ограничений, но только в рассматриваемой области возникают местами запретные подобласти. Мы можем вручную как-то их отслеживать. Только может возникнуть такая ситуация, когда мы дошли до края допустимой области, а общий алгоритм оптимизации зовёт нас в область недопустимую. Хотелось бы двигаться в сторону оптимума, но как-то по краю допустимой области. Но тут возникает сложность, что граница нелинейна (в отличие от исходной задачи) и её не так уж и просто отследить.

Существуют и другие методы решения этих проблем. Первый подход, воспользоваться какой-то стандартной программой оптимизации, коих много на любом языке программирования. Второй подход, если уж хочется всё сделать самому, вспомнить, что преподавали на курсе вычислительной математики и на курсе методов оптимизации. В крайнем случае соответствующую книгу прочитать. Но этот путь не для слабых духом.

[artempalkin]

alexey007 в сообщении #1537717 писал(а):

Я так понимаю, можно параметризовать на 3 параметра.

А чем вам не подходит $p_1=t_1,\ p_2=t_2,\ p_3=t_3,\ p_4=1-t_1-t_2-t_3$

[alexey007]

artempalkin в сообщении #1537770 писал(а):

alexey007 в сообщении #1537717 писал(а):

Я так понимаю, можно параметризовать на 3 параметра.

А чем вам не подходит $p_1=t_1,\ p_2=t_2,\ p_3=t_3,\ p_4=1-t_1-t_2-t_3$

так как все параметры $-1\le p_i{\le}1, i=1..4$, при вашей параметризации параметр $p_4$ может выйти за границы.