Нормировка спектральной плотности звезды

[Kurban_Alimagadov]

Всем доброго времени суток.

Решая задачу по измерению количества фотонов, наткнулся на статью: http://d33.infospace.ru/d33_conf/sb2019t5/75-84.pdf

В формуле 3 проводится какая-то странная нормировка. Насколько я понял, в знаменателе первого множителя стоит спектральная плотность Веги (т. к. нормируют на звезду с нулевой видимой величиной), но не совсем понятно, откуда берётся множитель $10^{-8.44} \cdot \lambda/(h \cdot c)$. Посмотрел источник (Аллен, 1977), на который ссылается автор, но, к сожалению, ничего похожего на эту формулу не нашёл. Может, кто-то сталкивался с подобной задачей и может подсказать, какой смысл имеет данная нормировка?

[Pphantom]

Честно говоря, больше всего это похоже на ошибку или опечатку. В Аллене ничего подобного действительно нет, да и смысл у выражения (3) отсутствует: если взять звезду с нулевой звездной величиной, то этот "нормировочный коэффициент" должен сократиться со знаменателем, что очевидно невозможно. Наиболее вероятный вариант: авторы воспользовались каким-то приближением для определенной длины волны и т.п., но не поняли, какие ограничения это приближение использует. Судя по тому, что и остальной текст по части астрономии изобилует проблемами подобного рода... в общем, проще это не использовать.

Так что лучше излагайте исходную задачу.

[Kurban_Alimagadov]

Нужно вычислить интегральный поток фотонов (по заданному диапазону длин волн), попавших в объектив датчика с диаметром D за время t, зная звёздную величину и спектральный класс звезды (звезда может быть произвольная из каталога SAO или HIPPARCOS). Если по этим параметрам этого сделать нельзя, можно также воспользоваться ещё какой-нибудь информацией о звезде, доступной из каталога HIPPARCOS (https://cosmos.esa.int/documents/532822 ... l1_all.pdf, http://cdsarc.u-strasbg.fr/viz-bin/Cat? ... f&#/browse).

Я пытался искать литературу по данной тематике, из более-менее конкретного - нашёл упомянутую выше статейку, но вот нормировка в ступор ввела. Думал, может, кто-то уже сталкивался с подобным. Или может ещё какая-нибудь литература есть по теме? Подскажите, пожалуйста, если знаете, а то уже вторую неделю ничего найти не могу)

[Pphantom]

А с какой точностью требуется результат? И заодно уж: под "потоком фотонов" все-таки понимается энергия на единицу времени, площади и т.д. или число фотонов на то же самое?

[Kurban_Alimagadov]

Под потоком понимается число фотонов на единицу площади в единицу времени (фотон$/ m^2 /$cек). По точности строгих ограничений нет, но желательно, как можно точнее. Хотя для разных звёзд результат будет, скорее всего, отличаться на несколько порядков, и, если можно точно получить хотя бы 1-2 старших порядка, уже хорошо. Но больше - лучше)

[Pphantom]

Несколько порядков точно не будет , но погрешность в 2% (как минимум) появится просто из-за неучета поглощения в атмосфере, так что что-то большее выжимать незачем.

Тогда схема решения примерно такая:
1) Определить эффективную температуру по спектральному классу (или показателю цвета). Формула есть в статье, ей можно воспользоваться.
2) Выписать концентрацию равновесного фотонного газа в единичном диапазоне длин волн как функцию длины волны.
3) Проинтегрировать ее по нужному диапазону длин волн (проще численно).
4) Учесть дилюцию (в конечном счете - помножить все на отношение угловой площади звезды на небе к $4\pi$). Можно получить явное выражение, но проще тупо использовать сетку моделей радиусов для двумерной классификации и данные о расстояниях.

[Kurban_Alimagadov]

Спасибо! Но я, вроде как, разобрался в материалах статьи, и поэтому посчитал как там. Всё-таки была у Аллена нужная информация, только найти её получилось не сразу)

[Pphantom]

Kurban_Alimagadov в сообщении #1536576 писал(а):

Всё-таки была у Аллена нужная информация, только найти её получилось не сразу)

Тогда признавайтесь - что это было? Интересно же.

[Kurban_Alimagadov]

В формуле (3) из той самой статьи производится нормировка спектрального потока излучения $E_\pi (\lambda, T) / E_\pi (550, T)$, в результате которой мы избавляемся от размерности.

Но вот, что смущало, - почему берётся именно такая длина волны (550 нм), и к чему множитель $10^{-8,44}$?

И насколько я понял (а точнее, мне показали табличку в книжке Аллена на стр. 186, и потом до меня дошло) ) $ $-$8.44$ - это величина потока излучения для звезды с нулевой звёздной величиной $(m = 0)$. Причём, именно на длине волны 550 нм это значение потока излучения - одинаковое для звёзд спектральных классов B, A, F, G, K, M, что очень удобно для получения универсальной формулы.

Так вот, отношение спектральных потоков излучения двух звёзд связано с значением разности их видимых звёздных величин следующим образом: $F_2 / F_1 \approx 10 ^ {0.4 \Delta m}$, где $\Delta m = m_1 - m_2$. Т. е. $F_2 \approx F_1 \cdot 10 ^ {0.4 (m_1 - m_2)} $, где в нашем случае $F_1 = E_\pi (\lambda, T) / E_\pi (550, T)$ - отнормированный поток излучения, $m_1 = 0$, так как мы хотим привести всё к потоку излучения звезды с нулевой звёздной величиной, потому что нам так удобно. И получим, что плотность излучения звезды с нулевой звёздной величиной примерно равна $F_2 \approx E_\pi (\lambda, T) / E_\pi (550, T) \cdot 10 ^ {0.4 ( - m_2)} $, а $m_2$ берём из каталога HIPPARCOS (кстати, только сейчас заметил, что в этой самой формуле (3) из статьи, вроде как, не хватает множителя 0.4 в показателе степени). Итого, у $F_2$ размерность будет [Дж /$ m^3 $/ с], поэтому ещё домножаем на $\lambda / hc$, чтобы получить $E_0$, у которого размерность уже [фотон /$ m^3 $/ с]. Далее соответственно интегрируем это дело по нужному нам диапазону длин волн и не забываем про обратную нормировку из формулы (5), чтобы получить интегральный поток от звезды с заданной видимой звёздной величиной $m_2$ ($M\nu$ - в обозначении авторов).

Если в рассуждениях где-то допустил ошибку, прошу сильно меня не ругать, так как с подобной задачкой столкнулся впервые, пару недель назад

Но, если уж так вышло, укажите, пожалуйста, где не прав. Буду очень благодарен.

[Kurban_Alimagadov]

А нет, всё-таки написал неправду. Надо будет ещё раз пересмотреть.

[Pphantom]

Привязка именно к 550 нм - это понятно (хотя у них там лишний нуль, и непонятно, случайное ли это переключение к ангстремам или это еще что-то значит). Но вот в каких единицах это поток, неочевидно совсем, никаких разумных вариантов не видно.

В общем, странно все это.