2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Постоянная Каталана как сумма бесконечного ряда
Сообщение04.10.2021, 10:08 
Аватара пользователя


30/01/20
9
Черногория
Как доказать утверждение:
$$G=\frac{1}{2}+\displaystyle\sum_{n=3 \atop n \text{ odd }}^{\infty}\frac{(n-1)\eta(n)}{2^{n}}$$

где $G$ - постоянная Каталана , $\eta(n)$ - эта функция Дирихле.

Демонстрация: SageMathCell.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянная Каталана как сумма бесконечного ряда
Сообщение23.10.2021, 16:46 


23/10/10
89
Сумма, после замены $n$ на $2k+1$ (что даёт $\sum_{k=1}^\infty$) и подстановки определения $\eta$, равна $$\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^{2k}}\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j-1}}{j^{2k+1}}=\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j-1}}{j}\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{(2j)^{2k}}=\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j-1}}{j}\frac{(2j)^{-2}}{\big(1-(2j)^{-2}\big)^2}$$ в силу $\sum_{k=1}^\infty kz^k=z/(1-z)^2$ при $|z|<1$. Последнее выражение выше равно $$\frac12\sum_{j=1}^\infty(-1)^{j-1}\left(\frac1{(2j-1)^2}-\frac1{(2j+1)^2}\right)=\frac12\big(G-(1-G)\big)=G-\frac12.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянная Каталана как сумма бесконечного ряда
Сообщение24.10.2021, 03:40 
Аватара пользователя


30/01/20
9
Черногория
@MetaMorphy Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group