Постоянная Каталана как сумма бесконечного ряда

[Pedja]

Как доказать утверждение:

$$G=\frac{1}{2}+\displaystyle\sum_{n=3 \atop n \text{ odd }}^{\infty}\frac{(n-1)\eta(n)}{2^{n}}$$

где $G$ - постоянная Каталана , $\eta(n)$ - эта функция Дирихле.

Демонстрация: SageMathCell.

[MetaMorphy]

Сумма, после замены $n$ на $2k+1$ (что даёт $\sum_{k=1}^\infty$) и подстановки определения $\eta$, равна

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^{2k}}\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j-1}}{j^{2k+1}}=\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j-1}}{j}\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{(2j)^{2k}}=\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j-1}}{j}\frac{(2j)^{-2}}{\big(1-(2j)^{-2}\big)^2}$$

в силу $\sum_{k=1}^\infty kz^k=z/(1-z)^2$ при $|z|<1$. Последнее выражение выше равно

$$\frac12\sum_{j=1}^\infty(-1)^{j-1}\left(\frac1{(2j-1)^2}-\frac1{(2j+1)^2}\right)=\frac12\big(G-(1-G)\big)=G-\frac12.$$

[Pedja]

@MetaMorphy Спасибо.