2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Постоянная Каталана как сумма бесконечного ряда
Сообщение04.10.2021, 10:08 
Аватара пользователя


30/01/20
8
Черногория
Как доказать утверждение:
$$G=\frac{1}{2}+\displaystyle\sum_{n=3 \atop n \text{ odd }}^{\infty}\frac{(n-1)\eta(n)}{2^{n}}$$

где $G$ - постоянная Каталана , $\eta(n)$ - эта функция Дирихле.

Демонстрация: SageMathCell.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянная Каталана как сумма бесконечного ряда
Сообщение23.10.2021, 16:46 


23/10/10
89
Сумма, после замены $n$ на $2k+1$ (что даёт $\sum_{k=1}^\infty$) и подстановки определения $\eta$, равна $$\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^{2k}}\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j-1}}{j^{2k+1}}=\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j-1}}{j}\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{(2j)^{2k}}=\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j-1}}{j}\frac{(2j)^{-2}}{\big(1-(2j)^{-2}\big)^2}$$ в силу $\sum_{k=1}^\infty kz^k=z/(1-z)^2$ при $|z|<1$. Последнее выражение выше равно $$\frac12\sum_{j=1}^\infty(-1)^{j-1}\left(\frac1{(2j-1)^2}-\frac1{(2j+1)^2}\right)=\frac12\big(G-(1-G)\big)=G-\frac12.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянная Каталана как сумма бесконечного ряда
Сообщение24.10.2021, 03:40 
Аватара пользователя


30/01/20
8
Черногория
@MetaMorphy Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group