В книжке Волошинова "Математика и искусство" приведен интересный пример. Допустим, мы разделили октаву на семь ступеней согласно чистому строю. Это значит, что если частоту первой ноты принять за 1, то частоты всех следующих нот по порядку будут такими:
На современном пианино этот ряд (белые клавиши) приближен членами геометрической прогрессии с множителем
(в котором некоторые члены являются черными, промежуточными клавишами). В результате клавиатура современного пианино стала "однородной" и "безликой": между любыми двумя соседними клавишами одинаковое соотношение частот, можно начинать играть откуда угодно и что угодно. Даже между белыми и черными клавишами нет теперь никакой принципиальной разницы (только историческая). Если бы пианино создавали сейчас, то, я думаю, его клавиатура выглядела бы совершенно однородной.
Но частоты чистого строя не вписываются ни в какую геометрическую прогрессию. Тут есть три разных "множителя прогрессии", которые перемежаются между собой:
. Причем два первых - это два слегка разных тона, а третий - это такой полутон, квадрат которого не равен ни одному, ни другому тону. В итоге такой строй делает каждую ноту в октаве уникальной, т.к. у нее уникальные соотношения частот с соседями и всеми другими нотами в октаве. Ясно, что при таком строе совершенно не все равно, с какой ноты играть мелодию.
В этом строе только от первой ноты в октаве все соотношения частот выдерживаются точно. Но от других нот получаются уже кривые соотношения. Т.е. вообще говоря, для второй ноты в октаве (и всех остальных) нужно уже вставлять в октаву новые клавиши, чтобы получить те же соотношения частот, что и для первой клавиши. Но эти новые клавиши в свою очередь сами нуждаются в новых клавишах и т.д.
Вот в книжке Волошинова рассматривается такая задача: можно ли создать такую клавиатуру, в которой от каждой клавиши можно будет отложить все интервалы чистого строя? Она вообще конечная?
Оказывается, да. Т.к. соотношения между клавишами чистого строя рациональные, то от каждой клавиши не требуется, конечно, добавлять семь совершенно новых клавиш. Многие из них уже существуют и совпадают с требуемыми. Если проделать первую итерацию и отложить от каждой клавиши чистого строя все интервалы чистого строя, то окажется, что в октаву нужно добавить 11 новых клавиш. В книжке не указано, сколько требуется проделать итераций до конечного результата, но сказано, что в конце концов процесс заканчивается, причем октаву нужно разделить на 84 ступени. Т.е. в каждой октаве должно быть примерно столько же клавиш, сколько их всего во всех октавах современного пианино.