Равномерно темперированный строй в музыке

[sergey zhukov]

Я недавно узнал следующее.
Сочетание двух музыкальных нот считается благозвучным, если их частоты являются не слишком высокими гармониками одной и той же базовой частоты (т.е. соотносятся, как небольшие целые числа). А с другой стороны, настройка, скажем, пианино, выполнена так, что частоты последовательных клавиш образуют геометрическую прогрессию с множителем $2^\frac{1}{12}$ (равномерно темперированный строй).

Интересно, что в этой геометрической прогрессии нет ни одной пары частот с благозвучным сочетанием, кроме 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. Есть только приблизительные совпадения отношений с той или иной ошибкой. Причем некоторые благозвучные сочетания не имеют в этой прогрессии даже хороших приближений, а некоторые пары из этого ряда не являются приближениями благозвучных сочетаний. Т.е. настройка пианино с точки зрения благозвучных сочетаний является только приблизительной.

Так получается потому, как я понял, что математически настроить пианино абсолютно правильно вообще невозможно. Если взять произвольную клавишу и настроить все остальные клавишы в точности так, чтобы они образовывали с выбранной только точные благозвучные сочетания, то все эти клавиши не будут образовывать благозвучные сочетания между собой. Геометрическая прогрессия хороша тут тем, что если удалось как-то подобрать хорошее приближение благозвучных сочетаний для выбранной клавиши, то оно автоматически выполняется и для всех остальных клавиш в клавиатуре.

Получается, что разбиение октавы на 12 геометрических шагов - это какой-то компромисс? Просто первое приближение к идеалу, которое отличается с одной стороны достаточно малым числом ступеней, а с другой - хорошей точностью приближения возможно большего числа благозвучных сочетаний и малым количеством "паразитных" сочетаний?

Я вот раньше считал, что семь нот - это нечто базовое, чуть ли не данное свыше. А оказывается, что это какое-то компромиссное решение задачи, причем чуть ли не первое приближение?

[Someone]

Г. Е. Шилов. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы.

Там и ещё кучу литературы для школьников можно найти.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1535443 писал(а):

Так получается потому, как я понял, что математически настроить пианино абсолютно правильно вообще невозможно.

О, это обширная тема. В целом да - у разных людей (музыкантов, настройщиков) могут быть разные вкусы и мнения о том, как правильно :) "Правильные" диссонансы создают то или иное ощущение.

[wrest]

sergey zhukov
Да, я тут вспомнил ещё один ресурс, возможно интересный по теме.

Есть такая (open source) программа "Энтропийный тюнер пианино". http://piano-tuner.org/ru/
Там автор преложил новый метод настройки который назвал "энтропийным", есть не длинная статья что и как (и при чем тут энтропия): http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/342301.pdf
Автор Haye Hinrichsen - физик-астроном как я понимаю, из
Universit at Wurzburg, Fakultat fur Physik und Astronomie, Wurzburg, Germany

Ну и некоторый список литературы там тоже есть.

[Andrey A]

sergey zhukov в сообщении #1535443 писал(а):

Я вот раньше считал, что семь нот - это нечто базовое, чуть ли не данное свыше. А оказывается...

Оказывается, бывают мелодические лады из 5-и звуков — пентатоники. Разбиение на 12 полутонов тоже не обязательно: у ситара в октаве их 21. Вообще, это "старый спор" Генделя с Бахом. Если Вы употребляете понятие "темперированный строй в музыке", наверное слышали об этом.

sergey zhukov в сообщении #1535443 писал(а):

... что математически настроить пианино абсолютно правильно вообще невозможно.

Математически как раз возможно — именно по геометрической прогрессии, как в современных синтезаторах. Но людей с чутким слухом такой строй слегка раздражает. Исторически под понятием "темперированный стой" понималось нечто иное, хотя смысл тот же. Незыблемо одно — октава должна быть чистой: $2/1$. В противном случае возникает грязь между регистрами, и слушать невозможно. Вторая по приоритету квинта (3/2). Именно грязные (волчьи) квинты составляют проблему настройки, но как ее решить? Строя квинты снизу вверх от любой ноты, к примеру от "до", мы должны достигнуть "до" в другой октаве, ведь количество нот конечно. Тогда получится $\left ( 3/2 \right )^x=\left ( 2/1 \right )^y$, что действительно математически невозможно. И тут начинаются компромиссы. Прологарифмируем обе части: $x \ln 3/2=y\ln 2,$ запишем $x/y=\dfrac{\ln 2}{\ln 3/2}=1,1,2,2,3,1,5,...=\dfrac{1}{1},\dfrac{2}{1},\dfrac{5}{3},\dfrac{12}{7},...$ Вот они 12 квинт темперированного строя примерно равные 7-ми октавам — четвертая подходящая дробь. Октавы трогать нельзя, значит приходится чуть уменьшить квинты, а дальше выбора нет: 12 полученных нот должны быть растиражированы по октавам на весь диапазон. Зато тональности в таком строе оказываются равноправны, и становятся возможны любые модуляции, что устраивало Баха, но для слуха Генделя, привыкшего к натуральному строю, даже эти "чуть уменьшенные" квинты, говорят, оказались мучительны. Следующие две подходящие дроби такие: $...\dfrac{41}{24},\dfrac{53}{31}.$ Если где-то во вселенной живут существа с большим количеством пальцев и необычайно острым слухом, то в их октаве должно быть 53 ноты. И в каждом тоне на наш слух примерно 9 полутонов ))

P.S. По поводу неправильных интервалов. Обратите внимание, между 4-й и 7-й гармониками натурального звукоряда заключены три варианта терций, а в современной гамме их всего две. Привычные мажор и минор вместо трех возможных красок, тоже компромисс. Впрочем, когда Леннон с Маккартни поют стройно между нот, они это дело наверстывают интуитивно, а в народном пении оно просто за норму. Только где теперь это народное пение...

[Emergency]

sergey zhukov в сообщении #1535443 писал(а):

Так получается потому, как я понял, что математически настроить пианино абсолютно правильно вообще невозможно.

В рамках одной тональности настроить пианино можно как угодно. Но настроив одну тональность идеально, усилим "кривизну" другой тональности.
С другой стороны, не у всех инструментов настраиваются все ноты. Возьмите примитивный горн, и выдувайте на нем чистые квинты сколько угодно. Из-за этого бывают казусы - одного моего знакомого трубача пианистка с хорошим слухом ругала за неправильную настройку квинт, когда они играли в паре. :)

[sergey zhukov]

wrest
О, тут еще и такие проблемы есть. Негармоничность колебаний одной струны, т.е. ее собственные гармоники не кратны друг-другу. Ужас. Еще один шаг в сторону от идеала.
Я так понял, авторы тут предлагают записать по очереди звуки всех клавиш конкретного пианино, а затем случайным поиском виртуально менять их основной тон так, чтобы получить как можно больше совпадений спектральных составляющих между всеми клавишами, что будет отвечать минимуму энтропии общего спектра (когда одновременно ударят по всем клавишам).

Andrey A
Да, меня вот тоже очень удивило, что существуют же некоторые благозвучные сочетания, которые мы из-за разбиения октавы только на 12 полутонов вообще никогда не слышим в западной музыке. И ведь не возникает даже никакого ощущения, что чего-то не хватает. Т.е. если сочиняешь какую-нибудь мелодию, то вроде как на пианино нот всегда достаточно для любых целей. По моему, наш слух уже сформирован этим строем, мы не замечаем пропусков. Даже малую секунду уже считаем чем-то полезным, хотя это же чисто паразитный интервал равномерно темперированного строя.

[Emergency]

sergey zhukov в сообщении #1535631 писал(а):

Негармоничность колебаний одной струны, т.е. ее собственные гармоники не кратны друг-другу. Ужас. Еще один шаг в сторону от идеала.

Что значит негармоничность колебаний одной струны? Или вы имеете в виду струну на инструменте дека которого имеет свои резонансы?
И что вы считаете идеалом? Чем чище звуковой тон, тем противнее он на слух.

[Andrey A]

sergey zhukov в сообщении #1535631 писал(а):

И ведь не возникает даже никакого ощущения, что чего-то не хватает.

Привычка свыше нам дана:
Замена счастию она.

sergey zhukov в сообщении #1535631 писал(а):

Даже малую секунду уже считаем чем-то полезным, хотя это же чисто паразитный интервал...

Ну... так уж резко я бы не стал ругать малую секунду. В пентатониках ее нет и не нужна, но в диатонических ладах уже присутствует. Не та, конечно, что на рояльной клавиатуре, так возьмите скрипку и мало ли еще не темперированных инструментов. Зато равноправие тональностей без математически усредненного полутона оказалось бы невозможно. ХТК Баха не досчитались бы, да и всей музыки 19 века в ее нынешнем виде. Короче, я понял — Вы берете сторону Генделя.

[sergey zhukov]

Andrey A
Нет, идея равномерно темперированного строя мне как раз больше нравится. Больше всего меня удивило здесь то, что задача настройки пианино, оказывается, принципиально не имеет точного решения. Я так думаю, большинство людей этого даже не подозревают. А на вопрос, почему октава разбита именно на 12 полутонов так наверняка мало кто сможет ответить внятно. Семь нот - это как дважды два четыре. Тут как бы и объяснять нечего.
Это для меня примерно то же самое, как если бы сейчас мне сказали "Знаешь, таблица умножения, которую ты учил в школе, только приблизительно верна. На самом деле, как ты теперь видишь, составить ее точно вообще невозможно. Есть много компромиссных таблиц умножения, разным людям нравятся разные".

[svv]

Пара замечаний. Во-первых, интервал, который звучит почти как диссонанс в «изолированном» виде, может звучать удивительно красиво, нетривиально и глубоко в контексте мелодии (см., например, запредельные аккорды в музыке Genesis). Во-вторых, на youtube можно послушать произведения с нестандартным делением октавы на 19, 24, 31, 53 ступени. Я ожидал от них чего-то «несказа́нного», но меня они не впечатлили, нестандартный интервал воспринимается чаще всего просто как плохая настройка инструмента.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1535688 писал(а):

Больше всего меня удивило здесь то, что задача настройки пианино, оказывается, принципиально не имеет точного решения.

(Поверить алгеброй гармонию)

В качестве офтопа про поверку алгеброй гармонии, приведу пример другого искусства -- живописи. Казалось бы, есть глаз и плоская центральная проекция, рельсы сходятся к горизонту и т.п. Но художники что-то дополнительно знают о восприятии человеком глубины на плоской картине, и пишут картины не всегда "правильно", если приложить линейки и посмотреть, а сходятся ли на самом деле все рельсы на картине в одну точку, и уменьшаются ли предметы в глубине именно по законам центральной проекции.

[Andrey A]

svv
Интересно, не знал. Genesis имеется в виду который с Питером Габриэлом?

svv в сообщении #1535699 писал(а):

диссонанс в «изолированном» виде, может звучать удивительно красиво, нетривиально и глубоко в контексте мелодии...

Я бы сказал "в контексте гармонического лада", в который погружен с детства слух современного человека. В нем мелодическое мышление получает опору и дополнительную степень свободы. Кто-то насвистывает под гармошку, которой нет, но слух прохожего восстанавливает общую картину. Если хорошо свистит. А денег все равно не будет, чего уж там. Публика в зале, сколько ни помню, всегда говорит так: вы музыку сделайте потише, а слова погромче ) И тут еще одна неразрывная составляющая — языковая, подвергшаяся нынче настоящему испытанию.
sergey zhukov
7 нот — диатоника. Почему именно 7 — вопрос не такой уж простой, знаменатель 4-ой подходящей дроби тут скорее совпадение. Если идти по квинтам от "фа" вверх, получим 7 "белых" нот, из которых, двигая их по октавам, можем составить любой диатонический лад — лидийский, фригийский и т.д. Дальнейшее движение по квинтам в любом направлении идет уже по черным клавишам. Но диатоника в отличии от пентатоники (5 квинт) содержит резко диссонирующий тритон фа-си, и это знак остановиться. Похоже на новый исторический предел в освоении звукового пространства. А вот как это связано со степенями двойки/тройки, и что это за математик такой разборчивый сидит у нас внутри — полнейшая загадка.
P.S. Если бы задача настройки имела точное решение, Гилельс не возил бы своего личного настройщика по гастролям. Он был любимчиком Сталина и мог себе позволить.

[svv]

Andrey A в сообщении #1535719 писал(а):

Genesis имеется в виду который с Питером Габриэлом?

Да.

[Andrey A]

(svv)

Genesis это было по-настоящему круто! Пока Коллинз не оседлал.