Дифференцируемость 1/x в 0

[denmanorwat]

Я правильно понимаю, что ${1 \over x}$ не дифференцируема в 0, поскольку не определена там?

[Otta]

Она просто не определена там. Все остальные разговоры о нуле бессмысленны. Не надо говорить про дифференцируемость. Точки, не входящие в область определения, не классифицируют.

[EUgeneUS]

denmanorwat
На всякий случай.
В некоторых отдельных случаях функцию можно до-определить.
Например, функцию $f(x)= \frac{\sin x}{x}$, можно до-определить в нуле единицей. Тогда такая "до-определенная" функция будет в нуле и непрерывной, и даже дифференцируемой.
Однако,
а) это будет уже другая функция
б) $1/x$ - не тот случай.
.

[zykov]

EUgeneUS в сообщении #1535931 писал(а):

функцию $f(x)= \frac{\sin x}{x}$, можно до-определить в нуле единицей

Важно, что доопределить непрерывно. Абы как доопределять неинтересно.
$1/x$ в нуле непрерывно не доопределить.

[EUgeneUS]

zykov в сообщении #1535935 писал(а):

$1/x$ в нуле непрерывно не доопределить.

ну да. Пункт "б" в моем посте выше.

[denmanorwat]

Спасибо за дополнения, полезно!

[Nemiroff]

Кстати, с непрерывностью и разрывом показания разнятся.
$1/x$ никак уж не непрерывна в нуле, но некоторые учебники (то бишь авторы) считают, что в нуле у неё нет точек разрыва, а некоторые -- что у неё в нуле разрыв (второго рода).

[Mikhail_K]

Nemiroff в сообщении #1536050 писал(а):

Кстати, с непрерывностью и разрывом показания разнятся.
$1/x$ никак уж не непрерывна в нуле, но некоторые учебники (то бишь авторы) считают, что в нуле у неё нет точек разрыва, а некоторые -- что у неё в нуле разрыв (второго рода).

Дело здесь вот в чём.

Если рассматривать функцию $f(x)=1/x$ как отображение $f:\,(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ в пространствах со стандартной метрикой (топологией), то это непрерывное отображение, точек разрыва у него нет.

Но в мат.анализе удобно её рассматривать просто как функцию на $\mathbb{R}$, то есть $f:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, только не всюду определённую, с областью определения $D(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$. Тогда точку $0$ стоит считать точкой разрыва.

Это редко проговаривается явно, большинство авторов "не любят" говорить про не всюду заданные отображения, а ведь этот язык удобен. И для того чтобы уметь указать точку разрыва у функции $f(x)=1/x$, и например в теории неограниченных операторов в функциональном анализе.

[Markus228]

EUgeneUS в сообщении #1535931 писал(а):

В некоторых отдельных случаях функцию можно до-определить.
Например, функцию $f(x)= \frac{\sin x}{x}$, можно до-определить в нуле единицей. Тогда такая "до-определенная" функция будет в нуле и непрерывной, и даже дифференцируемой.

Еще интереснее доопределить функция Хэвисайда в нуле как $0.5$ Это следует как из соображений симметрии, так и из фурье-анализа. В обобщенном многомерном случае там вроде надо брать средние арифметические.
Интересно, а есть ли какие-нибудь задачи, в которых значение функции Хэвисайда в нуле важно, и должно быть равно $0.5$?

[epros]

Markus228 в сообщении #1536150 писал(а):

а есть ли какие-нибудь задачи, в которых значение функции Хэвисайда в нуле важно, и должно быть равно $0.5$?

Есть такая странная задача на то, чему равно $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx$. Ответ (и сам факт его наличия) зависит от того, как именно определяются $\delta(x)$ и $\theta(x)$.

[zykov]

epros
Обычно логично определить как предел $\int_{-\infty}^{+\infty} f_n'(x) f_n(x) \; dx$, где $f_n(x)$ дифференцируема везде и $f_n(x)=0$ при $x<-\frac1n$, $f_n(x)=1$ при $x>\frac1n$. Тут не важно, какие именно $f_n$.
В физике это обычно работает.
Например сила в тонком заряженном слое. Плотность заряда - как дельта-функция, напряженность поля имеет скачок.
Можно рассмотреть это как очень тонкий слой конечной толщины.

-- 24.10.2021, 12:18 --

epros в сообщении #1536171 писал(а):

чему равно $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx$.

Если это к тому, что якобы $\theta(0)=\frac12$, то это не верно.
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) g(x) dx = g(0)$ только если $g(x)$ непрерывна в нуле. Для разрывной это не верно.
Если она разрывна, то само значение в нуле не влияет на значение интеграла.
Важны пределы в нуле слева и справа для $g(x)$.

[epros]

zykov в сообщении #1536172 писал(а):

epros
Обычно логично определить как предел $\int_{-\infty}^{+\infty} f_n'(x) f_n(x) \; dx$, где $f_n(x)$ дифференцируема везде и $f_n(x)=0$ при $x<-\frac1n$, $f_n(x)=1$ при $x>\frac1n$. Тут не важно, какие именно $f_n$.

Как оказывается, именно это и определяет ответ в более общем случае.

zykov в сообщении #1536172 писал(а):

Если это к тому, что якобы $\theta(0)=\frac12$, то это не верно.

Конечно неверно. Так и было сказано.

zykov в сообщении #1536172 писал(а):

само значение в нуле не влияет на значение интеграла.

Вот именно!

[worm2]

Возможно, стоит ещё добавить, что разрыв области определения функции $1/x$ сказывается на её первообразной. Первообразная определена там же, где и $1/x$ (то бишь в $\mathbb R \setminus \{0\}$), но с точностью не до одной, а до двух констант: $\ln|x|+C_1$ при $x<0$ и $\ln|x|+C_2$ при $x>0$.
Вообще такой трюк можно проделать с любой, в т.ч. непрерывно дифференцируемой функцией. Например, выколов из области определения функции $f(x)\equiv 0$ какую-нибудь точку, мы добьёмся, что у неё будет тоже двухпараметрическое семейство первообразных: $C_1$ левее этой точки и $C_2$ правее.

[Markus228]

epros в сообщении #1536176 писал(а):

Как оказывается, именно это и определяет ответ в более общем случае.

epros в сообщении #1536176 писал(а):

Вот именно!

Тут вы немного противоречите сами себе

-- 24.10.2021, 20:17 --

worm2 в сообщении #1536196 писал(а):

Возможно, стоит ещё добавить, что разрыв области определения функции $1/x$ сказывается на её первообразной.

Вот в ТФКП это уже устранено

[epros]

Markus228 в сообщении #1536214 писал(а):

Тут вы немного противоречите сами себе

Почему? Если определять дельта-функцию пределом последовательности функций, то именно способ определения последовательности определит значение этого интеграла. И при этом оно не будет никак связано со значением $\theta(x)$ в нуле.