Дифференцируемость 1/x в 0

[Markus228]

epros в сообщении #1536218 писал(а):

Если определять дельта-функцию пределом последовательности функций, то именно способ определения последовательности определит значение этого интеграла.

А, ну да

epros в сообщении #1536218 писал(а):

И при этом оно не будет никак связано со значением $\theta(x)$ в нуле.

А разве дельта-функция не является производной Хэвисайда? Тогда ответ будет $0.5$ в любом случае

[zykov]

Markus228 в сообщении #1536266 писал(а):

Тогда ответ будет $0.5$ в любом случае

Ответ на что?

[Markus228]

zykov в сообщении #1536267 писал(а):

Ответ на что?

На значение того интеграла

[zykov]

Да,

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) g(x) \; dx = \frac12 \left(\lim_{x \to -0} g(x) + \lim_{x \to +0} g(x) \right)$$

[Markus228]

zykov
Нет, я имел ввиду исходный интеграл epros, с дельта функцией и функцией Хевисайда. А с вашим равенством не согласен - можно выбрать такие предельные последовательности для дельта функции и $g$, чтобы значение интеграла было любым. Тут нужно дополнительное условие того, что производная функции Хэвисайда это дельта-функция, чтобы эти последовательности были самосогласованны, ну или просто тупо использовать формулу для значения интеграла от произведения функции на ее производную

-- 25.10.2021, 14:15 --

epros в сообщении #1536218 писал(а):

Если определять дельта-функцию пределом последовательности функций, то именно способ определения последовательности определит значение этого интеграла. И при этом оно не будет никак связано со значением $\theta(x)$ в нуле.

Но это противоречит вашей первой цитате, где от значения функции Хэвисайда в нуле что-то зависит в общем случае

[zykov]

Markus228 в сообщении #1536280 писал(а):

А с вашим равенством не согласен - можно выбрать такие предельные последовательности для дельта функции и $g$, чтобы значение интеграла было любым.

Как?
Как не выбирай, этот интеграл можно по частям взять. Интеграл от дельты будет Хевисайд. Производная от разрывной $g$ будет содержать дельту.
Ну или другими словами, разрывную $g$ можно заменить на сумму непрерывной $g_1$ и Хевисайда с коэффициентом (шириной разрыва $g$).

[epros]

Markus228 в сообщении #1536266 писал(а):

А разве дельта-функция не является производной Хэвисайда? Тогда ответ будет $0.5$ в любом случае

Это не означает что каждый член последовательности, у которой предел дельта-функция, является производной соответствующего члена последовательности, у которой предел - функция Хевисайда.

Markus228 в сообщении #1536280 писал(а):

epros в сообщении #1536218 писал(а):

Если определять дельта-функцию пределом последовательности функций, то именно способ определения последовательности определит значение этого интеграла. И при этом оно не будет никак связано со значением $\theta(x)$ в нуле.

Но это противоречит вашей первой цитате, где от значения функции Хэвисайда в нуле что-то зависит в общем случае

Я, вроде, нигде не говорил, что при определении дельта-функции пределом последовательности интеграл будет равен значению функции Хевисайда в нуле.
Но да, есть такой вариант определения дельта-функции (не последовательностью), когда вроде бы такое может подразумеваться.

[Markus228]

zykov в сообщении #1536286 писал(а):

Интеграл от дельты будет Хевисайд.

Ну вот, вы это учли, а можно дельта-функцию и функцию Хэвисайда приближать разными несогласованными последовательностями

epros в сообщении #1536289 писал(а):

Это не означает что каждый член последовательности, у которой предел дельта-функция, является производной соответствующего члена последовательности, у которой предел - функция Хевисайда.

Верно, это я и объясняю zykov