2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение22.10.2021, 14:30 


31/07/20
16
Я правильно понимаю, что ${1 \over x}$ не дифференцируема в 0, поскольку не определена там?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение22.10.2021, 14:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8513
Она просто не определена там. Все остальные разговоры о нуле бессмысленны. Не надо говорить про дифференцируемость. Точки, не входящие в область определения, не классифицируют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение22.10.2021, 19:17 
Аватара пользователя


11/12/16
9862
уездный город Н
denmanorwat
На всякий случай.
В некоторых отдельных случаях функцию можно до-определить.
Например, функцию $f(x)= \frac{\sin x}{x}$, можно до-определить в нуле единицей. Тогда такая "до-определенная" функция будет в нуле и непрерывной, и даже дифференцируемой.
Однако,
а) это будет уже другая функция
б) $1/x$ - не тот случай.
.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение22.10.2021, 19:54 


18/09/21
670
EUgeneUS в сообщении #1535931 писал(а):
функцию $f(x)= \frac{\sin x}{x}$, можно до-определить в нуле единицей
Важно, что доопределить непрерывно. Абы как доопределять неинтересно.
$1/x$ в нуле непрерывно не доопределить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение22.10.2021, 20:10 
Аватара пользователя


11/12/16
9862
уездный город Н
zykov в сообщении #1535935 писал(а):
$1/x$ в нуле непрерывно не доопределить.

ну да. Пункт "б" в моем посте выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение23.10.2021, 14:36 


31/07/20
16
Спасибо за дополнения, полезно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение23.10.2021, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3980
МФТИ ФУПМ
Кстати, с непрерывностью и разрывом показания разнятся.
$1/x$ никак уж не непрерывна в нуле, но некоторые учебники (то бишь авторы) считают, что в нуле у неё нет точек разрыва, а некоторые -- что у неё в нуле разрыв (второго рода).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение23.10.2021, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3920
Nemiroff в сообщении #1536050 писал(а):
Кстати, с непрерывностью и разрывом показания разнятся.
$1/x$ никак уж не непрерывна в нуле, но некоторые учебники (то бишь авторы) считают, что в нуле у неё нет точек разрыва, а некоторые -- что у неё в нуле разрыв (второго рода).
Дело здесь вот в чём.

Если рассматривать функцию $f(x)=1/x$ как отображение $f:\,(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ в пространствах со стандартной метрикой (топологией), то это непрерывное отображение, точек разрыва у него нет.

Но в мат.анализе удобно её рассматривать просто как функцию на $\mathbb{R}$, то есть $f:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, только не всюду определённую, с областью определения $D(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$. Тогда точку $0$ стоит считать точкой разрыва.

Это редко проговаривается явно, большинство авторов "не любят" говорить про не всюду заданные отображения, а ведь этот язык удобен. И для того чтобы уметь указать точку разрыва у функции $f(x)=1/x$, и например в теории неограниченных операторов в функциональном анализе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение24.10.2021, 05:38 


12/08/21
120
EUgeneUS в сообщении #1535931 писал(а):
В некоторых отдельных случаях функцию можно до-определить.
Например, функцию $f(x)= \frac{\sin x}{x}$, можно до-определить в нуле единицей. Тогда такая "до-определенная" функция будет в нуле и непрерывной, и даже дифференцируемой.

Еще интереснее доопределить функция Хэвисайда в нуле как $0.5$ :-) Это следует как из соображений симметрии, так и из фурье-анализа. В обобщенном многомерном случае там вроде надо брать средние арифметические.
Интересно, а есть ли какие-нибудь задачи, в которых значение функции Хэвисайда в нуле важно, и должно быть равно $0.5$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение24.10.2021, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
Markus228 в сообщении #1536150 писал(а):
а есть ли какие-нибудь задачи, в которых значение функции Хэвисайда в нуле важно, и должно быть равно $0.5$?
Есть такая странная задача на то, чему равно $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx$. Ответ (и сам факт его наличия) зависит от того, как именно определяются $\delta(x)$ и $\theta(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение24.10.2021, 11:49 


18/09/21
670
epros
Обычно логично определить как предел $\int_{-\infty}^{+\infty} f_n'(x) f_n(x) \; dx$, где $f_n(x)$ дифференцируема везде и $f_n(x)=0$ при $x<-\frac1n$, $f_n(x)=1$ при $x>\frac1n$. Тут не важно, какие именно $f_n$.
В физике это обычно работает.
Например сила в тонком заряженном слое. Плотность заряда - как дельта-функция, напряженность поля имеет скачок.
Можно рассмотреть это как очень тонкий слой конечной толщины.

-- 24.10.2021, 12:18 --

epros в сообщении #1536171 писал(а):
чему равно $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx$.
Если это к тому, что якобы $\theta(0)=\frac12$, то это не верно.
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) g(x) dx = g(0)$ только если $g(x)$ непрерывна в нуле. Для разрывной это не верно.
Если она разрывна, то само значение в нуле не влияет на значение интеграла.
Важны пределы в нуле слева и справа для $g(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение24.10.2021, 12:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
zykov в сообщении #1536172 писал(а):
epros
Обычно логично определить как предел $\int_{-\infty}^{+\infty} f_n'(x) f_n(x) \; dx$, где $f_n(x)$ дифференцируема везде и $f_n(x)=0$ при $x<-\frac1n$, $f_n(x)=1$ при $x>\frac1n$. Тут не важно, какие именно $f_n$.
Как оказывается, именно это и определяет ответ в более общем случае.

zykov в сообщении #1536172 писал(а):
Если это к тому, что якобы $\theta(0)=\frac12$, то это не верно.
Конечно неверно. Так и было сказано.

zykov в сообщении #1536172 писал(а):
само значение в нуле не влияет на значение интеграла.
Вот именно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение24.10.2021, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2869
Уфа
Возможно, стоит ещё добавить, что разрыв области определения функции $1/x$ сказывается на её первообразной. Первообразная определена там же, где и $1/x$ (то бишь в $\mathbb R \setminus \{0\}$), но с точностью не до одной, а до двух констант: $\ln|x|+C_1$ при $x<0$ и $\ln|x|+C_2$ при $x>0$.
Вообще такой трюк можно проделать с любой, в т.ч. непрерывно дифференцируемой функцией. Например, выколов из области определения функции $f(x)\equiv 0$ какую-нибудь точку, мы добьёмся, что у неё будет тоже двухпараметрическое семейство первообразных: $C_1$ левее этой точки и $C_2$ правее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение24.10.2021, 18:16 


12/08/21
120
epros в сообщении #1536176 писал(а):
Как оказывается, именно это и определяет ответ в более общем случае.

epros в сообщении #1536176 писал(а):
Вот именно!

Тут вы немного противоречите сами себе :wink:

-- 24.10.2021, 20:17 --

worm2 в сообщении #1536196 писал(а):
Возможно, стоит ещё добавить, что разрыв области определения функции $1/x$ сказывается на её первообразной.

Вот в ТФКП это уже устранено

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость 1/x в 0
Сообщение24.10.2021, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
Markus228 в сообщении #1536214 писал(а):
Тут вы немного противоречите сами себе
Почему? Если определять дельта-функцию пределом последовательности функций, то именно способ определения последовательности определит значение этого интеграла. И при этом оно не будет никак связано со значением $\theta(x)$ в нуле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group