2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непланарный четырехугольник
Сообщение21.10.2021, 17:00 
Аватара пользователя


12/03/11
657
Простой вопрос, но чего-то не соображу.
Если у нас есть плоский четырехугольник (выпуклый) в пространстве $R^3$, то у него сумма углов $2 \pi$.
Далее мы выполняем некоторый итеративный процесс в результате которого вершины немного сдвигаются $\epsilon$.
Если при этих итерациях мы сохраняем сумму углов $2 \pi$, гарантирует ли это что у нас все время будет плоский четырехугольник?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непланарный четырехугольник
Сообщение21.10.2021, 22:15 
Заслуженный участник


26/05/14
923
Да, гарантирует.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Тогда

$$

\angle ABC \leqslant \angle ABD + \angle DBC,

\angle CDA \leqslant \angle CDB + \angle BDA.
$$
Равенства достигаются если все точки компланарны.

Сумма углов треугольника $ABD$: $\angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = \pi$
Сумма углов треугольника $BDC$: $\angle DBC + \angle CDB + \angle BCD = \pi$

Складываем и оцениваем:
$$

2\pi = \angle ABD + \angle BDA + \angle DAB + \angle DBC + \angle CDB + \angle BCD =

= (\angle ABD + \angle DBC) + (\angle CDB + \angle BDA) + \angle DAB + \angle BCD \geqslant

\geqslant \angle ABC + \angle CDA + \angle DAB + \angle BCD

$$

Получили сумму углов четырёхугольника в пространстве. Равенство достигается только при компланарности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непланарный четырехугольник
Сообщение21.10.2021, 22:52 
Аватара пользователя


12/03/11
657
Да, вы правы! Я тоже сейчас это сообразил когда мысленно нарисовал сферический треугольник..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group