2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непланарный четырехугольник
Сообщение21.10.2021, 17:00 
Аватара пользователя


12/03/11
659
Простой вопрос, но чего-то не соображу.
Если у нас есть плоский четырехугольник (выпуклый) в пространстве $R^3$, то у него сумма углов $2 \pi$.
Далее мы выполняем некоторый итеративный процесс в результате которого вершины немного сдвигаются $\epsilon$.
Если при этих итерациях мы сохраняем сумму углов $2 \pi$, гарантирует ли это что у нас все время будет плоский четырехугольник?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непланарный четырехугольник
Сообщение21.10.2021, 22:15 
Заслуженный участник


26/05/14
922
Да, гарантирует.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Тогда

$$

\angle ABC \leqslant \angle ABD + \angle DBC,

\angle CDA \leqslant \angle CDB + \angle BDA.
$$
Равенства достигаются если все точки компланарны.

Сумма углов треугольника $ABD$: $\angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = \pi$
Сумма углов треугольника $BDC$: $\angle DBC + \angle CDB + \angle BCD = \pi$

Складываем и оцениваем:
$$

2\pi = \angle ABD + \angle BDA + \angle DAB + \angle DBC + \angle CDB + \angle BCD =

= (\angle ABD + \angle DBC) + (\angle CDB + \angle BDA) + \angle DAB + \angle BCD \geqslant

\geqslant \angle ABC + \angle CDA + \angle DAB + \angle BCD

$$

Получили сумму углов четырёхугольника в пространстве. Равенство достигается только при компланарности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непланарный четырехугольник
Сообщение21.10.2021, 22:52 
Аватара пользователя


12/03/11
659
Да, вы правы! Я тоже сейчас это сообразил когда мысленно нарисовал сферический треугольник..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group