Непланарный четырехугольник

[DLL]

Простой вопрос, но чего-то не соображу.
Если у нас есть плоский четырехугольник (выпуклый) в пространстве $R^3$, то у него сумма углов $2 \pi$.
Далее мы выполняем некоторый итеративный процесс в результате которого вершины немного сдвигаются $\epsilon$.
Если при этих итерациях мы сохраняем сумму углов $2 \pi$, гарантирует ли это что у нас все время будет плоский четырехугольник?

[slavav]

Да, гарантирует.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Тогда

$$ \angle ABC \leqslant \angle ABD + \angle DBC, \angle CDA \leqslant \angle CDB + \angle BDA. $$

Равенства достигаются если все точки компланарны.

Сумма углов треугольника $ABD$: $\angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = \pi$
Сумма углов треугольника $BDC$: $\angle DBC + \angle CDB + \angle BCD = \pi$

Складываем и оцениваем:

$$ 2\pi = \angle ABD + \angle BDA + \angle DAB + \angle DBC + \angle CDB + \angle BCD = = (\angle ABD + \angle DBC) + (\angle CDB + \angle BDA) + \angle DAB + \angle BCD \geqslant \geqslant \angle ABC + \angle CDA + \angle DAB + \angle BCD $$

Получили сумму углов четырёхугольника в пространстве. Равенство достигается только при компланарности.

[DLL]

Да, вы правы! Я тоже сейчас это сообразил когда мысленно нарисовал сферический треугольник..