Первый замечательный предел?

[Rustok]

Добрый вечер.
Снова нужна ваша помощь. Нужно вычислить предел.

1. $\lim\limits_{x\to -2 } \frac {\tg\pi x}{x+2} $ =\lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2} \cdot \frac {1}{\cos \pi x}$

2. $ \lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2} \cdot \frac {1}{\cos \pi x} =\lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2} \cdot \frac {1}{\cos (-2\pi)} = \lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2} \cdot 1$

А что делать с этим дальше я не вижу. Понимаю, что где-то тут, скорее всего светится первый замечательный предел, но как к нему прийти? Онлайн калькуляторы дают ответ $\pi$ , но даже решение под результат не могу подогнать. Куда копнуть дальше?
p.s. Ногами не бейте, школу закончил почти 20 лет назад, поэтому мозги пока не получается перенастроить в нужное направление.

[slavav]

Сделайте замену $y = x + 2$. Сверху будет синус суммы углов. Примените формулу, упростите.

[Rustok]

Ох, как же пока не просто. Воспользовался советом и вышло вот такое:
Заменим $ y = x + 2$ , получим $x = y - 2 $

$\lim\limits_{x\to -2} \frac {\sin \pi x}{x+2} = \lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi (y - 2)}{y} = \lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi y \cdot \cos 2\pi - \cos \pi y \cdot \sin 2 \pi}{y}$

$\sin 2 \pi = 0 , \cos 2 \pi = 1$

$\lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi y}{y} = \pi$

[zykov]

Из периодичности синуса: $\sin(\alpha-2\pi)=\sin\alpha$

[Rustok]

zykov в сообщении #1535814 писал(а):

Из периодичности синуса: $\sin(\alpha-2\pi)=\sin\alpha$

Недопонял, где мне это применить?

[Lia]

Rustok
У Вас не так много синусов. Догадайтесь.

[zykov]

Вместо этого:

Rustok в сообщении #1535813 писал(а):

$\lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi y \cdot \cos 2\pi - \cos \pi y \cdot \sin 2 \pi}{y}$

[Rustok]

В итоге-то у меня решение правильное? Если да, то я мог прийти к ответу более коротким путём?
Про периодичность синуса и косинуса $2\pi$ я знаю. Но всё равно не понимаю, как и где я мог это подставить?
У меня же $\sin \pi (y-2)$, а не $\sin (\alpha - 2 \pi)$

[StaticZero]

Rustok в сообщении #1535823 писал(а):

У меня же $\sin \pi (y-2)$, а не $\sin (\alpha - 2 \pi)$

$ \pi (y - 2) = \pi y - 2 \pi$

[Rustok]

StaticZero в сообщении #1535824 писал(а):

Rustok в сообщении #1535823 писал(а):

У меня же $\sin \pi (y-2)$, а не $\sin (\alpha - 2 \pi)$

$ \pi (y - 2) = \pi y - 2 \pi$

Спасибо.
Я до этого рассматривал этот вариант, но без отрыва от синуса. То есть $\sin \pi$ , а не просто $\pi$, поэтому у меня пазл в голове и не складывался